2025-2026学年广东省汕头市濠江区金山中学数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广东省汕头市濠江区金山中学数学高一上期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
2．与2022°终边相同的角是（）
A. B.
C.222° D.142°
3．如图，在正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点C到平面的距离为（）

A.1 B.
C. D.
4．若直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
5．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6．若，，则角的终边在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．下列结论中正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A.0 B.1
C.2 D.3
8．已知函数，若有且仅有两个不同实数，，使得则实数的值不可能为　　
A. B.
C. D.
9．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知向量，，且，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则___________
12．在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为__________
13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数_________
①在R上单调递增；②；③
14．已知函数，则函数的零点个数为__________
15．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f＝________.
16．函数在区间上的单调性是______．（填写“单调递增”或“单调递减”）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）判断的奇偶性；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围
18．已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数最大值为0，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
19．已知关于x，y的方程C：
（1）当m为何值时，方程C表示圆；
（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.
20．已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.
（1）求的值，并求出在上的解析式；
（2）求在上的最值
21．已知a、且都不为1，函数
（1）若，，解关于x的方程；
（2）若，是否存在实数t，使得函数为上的偶函数？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.
【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，
则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，
而函数在上单调递增，且当时，，因此，，
方程，
于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，
在同一坐标系内作出函数与的图象如图，

观察图象知，函数与的图象有3个公共点，
所以方程解的个数为3.
故选：A
【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
2、C
【解析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.
【详解】∵2022°＝360°×5＋222°，∴与2022°终边相同的角是222°.
故选：C.
3、C
【解析】取的中点，连接和，由二面角的定义得出，可得出、、的值，由此可计算出和的面积，然后利用三棱锥的体积三棱锥的体积相等，计算出点到平面的距离.
【详解】取的中点，连接和，根据二面角的定义，.
由题意得，所以，.
设到平面的距离为，易知三棱锥的体积三棱锥的体积相等，
即，解得，故点C到平面的距离为.
故选C.
【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法与空间向量法，等体积法本质就是转化为三棱锥的高来求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
4、A
【解析】直线经过两点，，且倾斜角为，则
故答案为A．
5、D
【解析】对A，C利用特殊值即可判断；对B，由对数函数的定义域即可判断，对D，由指数函数的单调性即可判断.
【详解】解：对A，令，，
则满足，但，故A错误；
对B，若使，
则需满足，但题中，故B错误；
对C，同样令，，
则满足，但，故C错误；
对D，在上单调递增，
当时，，故D正确.
故选：D.
6、B
【解析】应用诱导公式可得，，进而判断角的终边所在象限.
【详解】由题设，，，
所以角的终边在第二象限.
故选：B
7、C
【解析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.
【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题，则，故③错误；
对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
8、D
【解析】利用辅助角公式化简，由，可得，根据在上有且仅有两个最大值，可求解实数的范围，从而可得结果
【详解】函数；
由，可得，
因为有且仅有两个不同的实数，，使得
所以在上有且仅有两个最大值，因为，
，
则；
所以实数的值不可能为，故选D
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题
9、B
【解析】根据指数函数、正切函数的性质，结合奇函数和单调性的性质进行逐一判断即可.
【详解】A：当时，，所以该函数不是奇函数，不符合题意；
B：由，设，
因为，所以该函数是奇函数，
，函数是上的增函数，
所以函数是上的增函数，因此符合题意；
C：当时，，当时，，显然不符合增函数的性质，故不符合题意；
D：当时，，显然不符合增函数的性质，故不符合题意，
故选：B
10、D
【解析】分析：直接利用向量垂直的坐标表示得到m的方程，即得m的值.
详解：∵，∴，故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该这些基础知识的掌握水平.(2) 设=,=，则

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】将齐次式弦化切即可求解.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：2.
12、
【解析】由题意，∴A（3，2）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，
∴圆上不相同的两点为B（1，4），D（5，4），
∵A（3，2），BA⊥DA
∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，
∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4
过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，
∴两圆外切时，m的最大值为，两圆内切时，m的最小值为，
故答案为[3，7]
13、（答案不唯一，形如均可）
【解析】由指数函数的性质以及运算得出.
【详解】对函数，因在R上单调递增，所以在R上单调递增；
，.
故答案为：（答案不唯一，形如均可）
14、3
【解析】由，得，
作出y＝f(x)，的图象，

由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3
故答案为：3
15、
【解析】根据图象过点的坐标，求得幂函数解析式，再代值求得函数值即可.
【详解】设幂函数为y＝xα(α为常数).
∵函数f(x)的图象过点(4，2)，∴2＝4α，∴α＝，
∴f(x)＝，∴f＝.
故答案为：.
【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及幂函数函数值的求解，属综合简单题.
16、单调递增
【解析】求出函数单调递增区间，再判断作答.
【详解】函数的图象对称轴为，因此，函数的单调递增区间为，
而，所以函数在区间上的单调性是单调递增.
故答案为：单调递增

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）偶函数（2）
【解析】（1）利用奇函数与偶函数的定义判断即可；
（2）要使恒成立转化，判断函数的单调性，
利用单调性求出的取值范围，即可得到的范围
【小问1详解】
函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数；
【小问2详解】
因为在上单调递增，
故函数在上单调递减，
所以，
因为当时，恒成立
转化为，即可，
所以，
则实数的取值范围为
18、 (1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案见解析.
【解析】（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根据log3x∈[0,2]，即可得值域；
（2）由，令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，得(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，利用二次函数求函数的最小值即可；
（3）由，假设最大值为0，因为,则有，求解即可.
试题解析：
（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，
因为x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2].
（2）由，
得(3－4log3x)(3－log3x)>k，
令t＝log3x，因为x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k对一切t∈[0,2]恒成立，
令，其对称轴为，
所以当时，的最小值为，
综上，实数k的取值范围为(－∞，)．.
（3）假设存在实数，使得函数的最大值为0，
由.
因为,则有，解得，所以不存在实数，
使得函数的最大值为0.
点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .
19、（1）m＜5；（2）m＝4
【解析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；
（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可
【详解】解：（1）方程C可化为，
显然只要5−m＞0，
即m＜5时，方程C表示圆；
（2）因为圆C的方程为，其中m＜5，
所以圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x＋2y−4＝0的距离为，
因为|MN|＝，所以|MN|＝，
所以，
解得m＝4
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键
20、（1）在上的解析式为；（2）函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.
【解析】（1）根据函数的奇偶性可知，代入即可求值；
（2）利用换元得出新的函数，再结合新的函数解析式求最值即可.
【详解】（1）为定义在[－1,1]上的奇函数，且在处有意义，
即
，
设，则

又，

所以，在上的解析式为
（2）当，，
∴设则

当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.
当t=0时，取最小值为-2.
所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2.
21、（1）
（2）存，
【解析】(1)根据题意可得，解方程即可；
(2)由题意可得，结合偶函数的概念可得，进而得到，解方程即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
方程即为，
化简得，所以，解得；
【小问2详解】
因为，故，
，
因为是偶函数，故对任意的实数x成立，
而，
于是对任意的实数x成立，解得