西北狼联盟高2025年数学高一上期末质量检测模拟试题含解析.doc

西北狼联盟高2025年数学高一上期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为
A.每个70元 B.每个85元
C.每个80元 D.每个75元
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）
A.120 B.200
C.240 D.400
4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）

A.90° B.60°
C.45° D.30°
5．若，则（）
A.2 B.1
C.0 D.
6．已知集合，则集合中元素的个数是（）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7．将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知直线，圆．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为．当四边形面积最小时，直线方程是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，若，则实数a的值为（）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
10．已知是奇函数，且满足，当时，，则在内是
A.单调增函数，且 B.单调减函数，且
C.单调增函数，且 D.单调减函数，且
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得逆时针旋转得，则__________，点的横坐标为_________

12．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则__________
13．已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.
14．已知函数，若存在，使得f（）＝g（），则实数a的取值范围为___
15．已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______
16．函数定义域为____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，.
（1）求；
（2）若角的终边上有一点，求.
18．已知函数
（1）求函数的最小正周期、单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
19．在三棱锥中，和是边长为等边三角形，，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证:平面；
（3）求三棱锥的体积.
20．已知直线l经过点，其倾斜角为.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
21．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】设定价每个元，利润为元，则
，故当，时，故选A.
考点：二次函数的应用.
2、D
【解析】
根据题意，依次判断选项中函数的奇偶性、单调性，从而得到正确选项.
【详解】根据题意，依次判断选项：
对于A，，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，，是余弦函数，是偶函数，
在区间上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是奇函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，，是二次函数，其开口向下对称轴为y轴，
既是偶函数又在上单调递增，
故选：D.
3、D
【解析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可
【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
4、B
【解析】连接，可证明，然后可得即为异面直线与所成的角，然后可求出答案.
【详解】
连接，因为是正方体，所以和平行且相等
所以四边形是平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角.
因为是等边三角形，所以
故选：B
5、C
【解析】根据正弦、余弦函数的有界性及，可得，，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；
【详解】解：∵，，又∵，∴，，又∵，∴，∴，
故选：C
6、C
【解析】根据，所以可取，即可得解.
【详解】由集合，，
根据，
所以，
所以中元素的个数是3.
故选：C
7、D
【解析】直接利用函数图象的与平移变换求出函数图象对应解析式
【详解】解：将函数y＝5sin（﹣3x）的周期扩大为原来的2倍，
得到函数y＝5sin（x），再将函数图象左移，
得到函数y＝5sin[（x）]＝5sin（）＝5sin（）
故选D
【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题.
8、B
【解析】求得点C到直线l的距离d ，根据，等号成立时，求得点P，进而求得过的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.
【详解】设点C到直线l的距离为，
由，
此时，，
方程为，即，
与直线联立得，
因为共圆，其圆心为，半径为，
圆的方程为,
与联立，
化简整理得，
答案：B
9、B
【解析】首先求出的解析式，再根据指数对数恒等式得到，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：根据题意，，
则有，若，即，解可得，
故选：B
10、A
【解析】先根据f（x+1）=f（x﹣1）求出函数周期，然后根据函数在x∈（0，1）时上的单调性和函数值的符号推出在x∈（﹣1，0）时的单调性和函数值符号，最后根据周期性可求出所求
【详解】∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f（x）即f（x）是周期为2的周期函数
∵当x∈（0，1）时，＞0，且函数在（0，1）上单调递增，y=f（x）是奇函数，
∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，且函数在（﹣1，0）上单调递增
根据函数的周期性可知y=f（x）在（1，2）内是单调增函数，且f（x）＜0
故选A
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的单调性，同时考查了分析问题，解决问题的能力，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.##0.96 ②.
【解析】由终边上的点得，，应用二倍角正弦公式求，根据题设描述知在的终边上，结合差角余弦公式求其余弦值即可得横坐标.
【详解】由题设知：，，
∴，
所在角为，则，
∴点的横坐标为.
故答案为：，.
12、
【解析】，所以，，故．填
13、
【解析】令，则方程转化为，可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，由恰好有6个不同的实数根，可得有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，然后根据，，分3种情况讨论即可得答案.
【详解】解：令，则方程转化为，画出的图象，如图

可知可能有个不同解，二次函数可能有个不同解，
因为恰好有6个不同的实数根，所以有2个不同的实数根，有3个不同的实数根，则，
因为，解得，，解得，
所以，，每个方程有且仅有两个不相等的实数解，
所以由，可得，即，解得；
由，可得，即，解得；
由，可得，
即，而在上恒成立，
综上，实数λ的取值范围为.
故答案为：.
14、
【解析】先求出的值域，再求出的值域，利用和得到不等式组求解即可.
【详解】因为，所以，故，即
因为，依题意得，解得
故答案为：.
15、或或
【解析】∵函数（且）只有一个零点，
∴
∴
当时，方程有唯一根2，适合题意
当时，或
显然符合题意的零点
∴当时，
当时，，即
综上：实数的取值范围为或或
故答案为或或
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
16、∪
【解析】根据题意列出满足的条件，解不等式组
【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.
故答案为：∪.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由条件求得，将所求式展开计算
（2）由条件求得与，再由二倍角与两角和的正切公式计算
小问1详解】
，，则
故
【小问2详解】
角终边上一点，
则
由（1）可得，

18、 (1),增区间是，减区间是 (2)，
【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；
（2）求出x∈[，]时2x的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值
【详解】（1）函数f（x）cos（2x）中，它的最小正周期为Tπ，
令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
令2kπ≤2xπ+2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）x∈[，]时，2x≤π，所以2x；
令2x，解得x，此时f（x）取得最小值为f（）（）＝﹣1；
令2x0，解得x，此时f（x）取得最大值为f（）1
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题
19、（1）见解析（2）见解析（3）.
【解析】由三角形中位线定理，得出，结合线面平行的判定定理，可得平面PAC；等腰和等腰中，证出，而，由勾股定理的逆定理，得，结合，可得平面ABC；由易知PO是三棱锥的高，算出等腰的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥的体积
【详解】
，D分别为AB，PB的中点，
又平面PAC，平面PAC
平面
如图，连接OC
，O为AB中点，，
，且
同理，，
又，
，得

、平面ABC，，
平面
平面ABC，D为PB的中点，
结合，得棱锥的高为，
体积为
【点睛】本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题
20、 (1) ; (2) .
【解析】(1) 由斜率,再利用点斜式即可求得直线方程；
(2) 由直线的方程，分别令为，得到纵截距与横截距，即可得到直线与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【详解】(1)
直线方程为：，即.
(2) 由 (1) 令，则；令，则.
所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为：
.
【点睛】本题考查直线的点斜式方程，直线截距的意义，三角形的面积，属于基础题.
21、（1）最小正周期；（2）.
【解析】
（1）先利用余弦的二倍角公式和两角差的正弦化简后，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；
（2）由x的范围求出的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域．
【详解】由已知

（1）函数的最小正周期；
（2）因为，所以
所以，
所以.
【点睛】本题考查三角函数的周期性、值域及两角和与差的正弦、二倍角公式，关键点是对的解析式利用公式进行化简，考查学生的基础知识、计算能力，难度不大，综合性较强，属于简单题.