2026届吉林省长春市第十一高中数学高二上期末经典模拟试题含解析.doc

2026届吉林省长春市第十一高中数学高二上期末经典模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.2
2．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B.
C. D.
3．已知随机变量，，则的值为（）
A.0.24 B.0.26
C.0.68 D.0.76
4．已知数列满足，且，则（）
A.2 B.3
C.5 D.8
5．由于受疫情的影响，学校停课，同学们通过三种方式在家自主学习，现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是（ ）

A.样本容量为240
B.若，则本次自主学习学生的满意度不低于四成
C.总体中对方式二满意学生约为300人
D.样本中对方式一满意的学生为24人
6．下列命题是真命题的个数为（）
①不等式的解集为
②不等式的解集为R
③设，则
④命题“若，则或”为真命题
A1 B.2
C.3 D.4
7．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）

A.30m B.
C. D.
8．中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为，则游船此次行程的平均速度V与的大小关系是（）
A. B.
C. D.
9．命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（）
A.：任意实数，它的绝对值是正数，为假命题
B.：任意实数，它的绝对值不是正数，为假命题
C.：存在一个实数，它的绝对值是正数，为真命题
D.：存在一个实数，它的绝对值是负数，为真命题
10．设集合，，则（）
A. B.
C. D.
11．复数，则对应的点所在的象限是（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12．在等差数列中，若，则（）
A.6 B.9
C.11 D.24
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______
14．若，且，则_____________
15．已知等比数列满足：，，，则公比______.
16．已知数列满足，，则使得成立的n的最小值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某市为加强市民对新冠肺炎的知识了解，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），共5人，第2组[25，30），共35人，第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求a的值；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，且该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有-名志愿者被抽中的概率.
18．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且.
（1）求C；
（2）若D是BC的中点，，，求AB的长.
19．（12分）已知数列满足,，设.
（1）证明数列为等比数列，并求通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.
（1）求抛物线方程和N点坐标；
（2）求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.
21．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程
22．（10分）已知抛物线C：经过点（1，-1）.
（1）求抛物线C的方程及其焦点坐标；
（2）过抛物线C上一动点P作圆M：的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】先求出渐近线方程，进而将点代入直线方程得到a,b关系，进而求出离心率.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，而一条渐近线过点，则，.
故选：A.
2、A
【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题
3、A
【解析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.
【详解】因随机变，，有，由正态分布的对称性得：
，
所以的值为0.24.
故选：A
4、D
【解析】使用递推公式逐个求解，直到求出即可.
【详解】因为
所以，，，.
故选：D
5、B
【解析】利用扇形统计图和条形统计图可求出结果
【详解】选项A，样本容量为，该选项正确；
选项B，根据题意得自主学习的满意率，错误；
选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为，该选项正确；
选项D，样本中对方式一满意人数为，该选项正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查扇形统计图和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题
6、B
【解析】举反例判断A，解一元二次不等式确定B，由导数的运算法则求导判断C，利用逆否命题判断D
【详解】显然不是的解，A错；，B正确；
，，C错；
命题“若，则或”的逆否命题是：若且，则，是真命题，原命题也是真命题，D正确
真命题个数2.
故选：B
7、D
【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.
【详解】由题设知：，

又，
△中，可得，
在△中，，则.
故选：D
8、A
【解析】求出平均速度V，进而结合基本不等式求得答案.
【详解】易知，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为，逆流而上的时间为，则平均速度，由基本不等式可得，而，当且仅当时，两个不等式都取得“=”，而根据题意，于是.
故选：A.
9、A
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断，再利用特殊值判断命题的真假；
【详解】解：因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为，所以为假命题；
故选：A
10、C
【解析】根据集合交集和补集的概念及运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
根据补集的运算，可得，所以.
故选：C.
11、C
【解析】化简复数，根据复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数，
所以复数对应的点为位于第三象限.
故选：C.
12、B
【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解
【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】可设为第一象限的点，，，求出，，化简即得解.
【详解】解：可设为第一象限的点，，，
由椭圆定义可得，
由双曲线的定义可得，
可得，，
由，可得，
即为，
化为，
则
故答案为：4
14、
【解析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.
【详解】解：因为，所以，，，又，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
15、
【解析】根据等比数列的通项公式可得，结合即可求出公比.
【详解】设等比数列的公式为q，
则，即，
解得，
又，所以，
所以.
故答案为：.
16、11
【解析】由题设可得，结合等比数列的定义知从第二项开始是公比为2的等比数列，进而写出的通项公式，即可求使成立的最小值n.
【详解】因为，
所以，
两式相除得，整理得.
因为，故从第二项开始是等比数列，且公比为2，
因为，则，所以，则，
由得：，故
故答案为：11.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.04；
（2）.
【解析】（1）根据频率的计算公式，结合概率之和为1，即可求得参数；
（2）根据题意求得抽样比以及第三组和第四组各抽取的人数，再列举所有可能抽取的情况，找出满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【小问1详解】
第一组频率为，第二组的频率为，
则第一组与第二组的频率之和为，
又，故.
【小问2详解】
第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志题者中抽收6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：.
记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，
则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
，
，
共有10种
其中第3组的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：
，
共9种.
所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角变换可求答案；
（2）根据余弦定理先求，再用余弦定理求解.
【小问1详解】
∵，∴由正弦定理可得，
∴，
∴.
∵，∴，即.
∵，∴.
【小问2详解】
设，则，
即，解得或（舍去），∴.
∵，∴.
19、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】（1）计算可得出，根据等比数列的定义可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
证明：对任意的，，则，则，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，
所以，数列是等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，则.
【小问2详解】
解：，
则，
，
下式上式得

.
20、（1），
（2）证明见解析，定点
【解析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.
【小问1详解】
设抛物线的标准方程为，，其焦点为
则，
∴
所以抛物线的方程为.
，所以，所以.
因为，所以，所以.
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），
联立方程得
设两个交点，（，）.
所以
所以，
即
整理得，此时恒成立，
此时直线l的方程为，可化为，
从而直线过定点.
21、（1）
（2）或
【解析】(1)把点的坐标代入方程即可；
(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.
【小问1详解】
因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为
又因为点在抛物线C上，所以，解得，
所以抛物线的方程为；
【小问2详解】
抛物线C的焦点为，
当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设直线l交抛物线的两点坐标为，，
由得，，，，
由抛物线得定义可知，
所以，解得，即，
所以直线l的方程为或
22、（1），焦点坐标为；
（2）
【解析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；
（2）设出点坐标，根据切线垂直于半径，根据点到点距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出的最小值.
【小问1详解】
解：因为抛物线过点，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为；
【小问2详解】
解：设，因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.