浙江省普通高等学校2026届数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

浙江省普通高等学校2026届数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾束，中等稻禾束，下等稻禾束，各等稻禾总数都不足斗．如果将束上等稻禾加上束中等稻禾，或者将束中等稻禾加上束下等稻禾，或者将束下等稻禾加上束上等稻禾，则刚好都满斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的束上等稻禾是多少斗？（）
A. B.
C. D.
2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=
A.{1} B.{3，5}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}
3．如图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A.
B
C.
D.
4．已知幂函数，在上单调递增.设，，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
5．已知（）
A. B.
C. D.
6．在下列区间中，函数f（x）＝ex+2x﹣5的零点所在的区间为（　　）
A.（﹣1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
7．函数取最小值时的值为（ ）
A.6 B.2
C. D.
8．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
9．已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：
①∥ ②⊥∥ ③∥⊥ ④⊥∥其中正确命题的序号是
A.①③ B.②③④
C.①②③ D.②④
10．命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，若，则的形状一定是___________三角形.
12．已知，则满足f(x)＝的x的值为________
13．已知幂函数的图象过点，则_____________
14．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
15．在平面四边形中，，若，则__________.
16．命题“，”的否定是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品A在一个销售季度的销量单位：万件与售价单位：元之间满足函数关系，A的单件成本单位：元与销量y之间满足函数关系
当产品A的售价在什么范围内时，能使得其销量不低于5万件？
当产品A的售价为多少时，总利润最大？注：总利润销量售价单件成本
18．在三棱锥中，平面平面，，，分别是棱，上的点

（1）为的中点，求证：平面平面.
（2）若，平面，求的值.
19．已知函数
（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（2）对任意时，都成立，求实数的取值范围
20．已知定义在上的函数是奇函数
（1）求实数；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围
21．已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．

(1)求正视图的面积；
(2)求四棱锥P－ABCD的侧面积．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】设出未知数，根据题意列出方程即可解出.
【详解】设束上等稻禾是斗，束中等稻禾是斗，束下等稻禾是斗，
则由题可得，解得，
所以束上等稻禾是斗.
故选：D.
2、C
【解析】根据补集的运算得．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误
3、B
【解析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时解析式求出即可
【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝|x－1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得
4、A
【解析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出，在根据指数函数与对数函数的单调性得到，根据幂函数的单调性得到，再结合偶函数可得答案.
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，，此时满足在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，不合题意.
所以.
因为，，，
且，所以，
因为在上单调递增，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的概念和性质、指数函数与对数函数的单调性是解题关键.
5、D
【解析】利用诱导公式对式子进行化简，转化为特殊角的三角函数，即可得到答案；
【详解】，
故选：D
6、C
【解析】由零点存在性定理即可得出选项.
【详解】由函数为连续函数，
且，
，
所以，
所以零点所在的区间为，
故选：C
【点睛】本题主要考查零点存在性定理，在运用零点存在性定理时，函数为连续函数，属于基础题.
7、B
【解析】变形为，再根据基本不等式可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当且，即时等号成立.
故选：B
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题.
8、C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
9、A
【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.
【详解】②若，则与不一定平行，还可能为相交和异面；④若，则与不一定平行，还可能是相交.
故选A.
【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、垂直的性质定理和判断定理.
10、C
【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，选出正确选项.
【详解】因为命题是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即，.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、等腰
【解析】根据可得，利用两角和的正弦公式展开，再逆用两角差的正弦公式化简，结合三角形内角的范围可得，即可得的形状.
【详解】因，，
所以，
即，
所以，可得：，
因为，，所以
所以，即，故是等腰三角形.
故答案为：等腰.
12、3
【解析】分和两种情况并结合分段函数的解析式求出x的值
【详解】由题意得(1) 或(2) ，
由(1)得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去
由(2)得x＝3，符合x>1
∴x＝3
故答案为3
【点睛】已知分段函数的函数值求自变量的取值时，一般要进行分类讨论，根据自变量所在的范围选用相应的解析式进行求解，求解后要注意进行验证．本题同时还考查对数、指数的计算，属于基础题
13、##
【解析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解
【详解】设，由已知得，所以，
故答案为：
14、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15、##1.5
【解析】设，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案.
【详解】
设，在中，，，
，
在中，，，，
，
由正弦定理得：，
得，
.
故答案为：.
16、.
【解析】全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可知原命题的否定.
【详解】由全称命题的否定为特称命题，
所以原命题的否定：.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）14元
【解析】（1）根据题中所给的解析式，分情况列出其满足的不等式组，求得结果；
（2）根据题意，列出利润对应的解析式，分段求最值，最后比较求得结果.
【详解】（1）由得，或
解得，或.
即.
答：当产品A的售价时，其销量y不低于5万件
（2）由题意，总利润
①当时，，当且仅当时等号成立.
②当时，单调递减，
所以，时，利润最大.
答：当产品A的售价为14元时，总利润最大
【点睛】该题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有根据题意列出函数解析式，根据函数解析式求函数的最值，注意认真分析题意，最后求得结果.
18、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）根据等腰三角形的性质，证得，由面面垂直的性质定理，证得平面，进而证得平面平面.
（2）根据线面平行的性质定理，证得，平行线分线段成比例，由此求得的值.
【详解】（1），为的中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）∵平面，面，面面
∴，
∴.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19、（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可.
（2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围
【详解】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，

∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减；
（2）由（2）可知在上单调减函数，
∴当时，取得最小值，即，
对任意时，都成立，只需成立，
∴，解得：
20、（1）1（2）
【解析】（1）根据奇函数的性质，，求参数后，并验证；
（2）结合函数单调性和奇函数的性质，不等式变形得恒成立，再根据判别式求实数的取值范围
【小问1详解】
∵是定义域为的奇函数，∴，∴，则
，满足，所以成立.
【小问2详解】
中，函数单调递减，单调递增，故在上单调递增
原不等式化为，∴即恒成立，
∴，解得
21、（1）；（2）
【解析】（1）根据四棱锥的体积得PA=，进而得正视图的面积；
（2）过A作AE∥CD交BC于E，连接PE，确定四个侧面积面积S△PAB，S△PAD， S△PCD， S△PBC求和即可.
试题解析：
(1) 如图所示四棱锥P－ABCD的高为PA，底面积为S＝·CD＝×1＝
∴四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，∴PA=
∴正视图的面积为S＝×2×＝.
(2)如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连接PE.根据三视图可知，E是BC的中点，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，
又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，
∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝.
∴四棱锥P－ABCD的侧面积为
S＝S△PAB+ S△PAD+ S△PCD+ S△PBC＝··+··1+·1·+·2·=.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.