上海市青浦区2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

上海市青浦区2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是

A.平面
B.与是异面直线
C.
D.
2．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知函数和，则下列结论正确的是
A.两个函数的图象关于点成中心对称图形
B.两个函数的图象关于直线成轴对称图形
C.两个函数的最小正周期相同
D.两个函数在区间上都是单调增函数
4．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）
A类轮胎：94，96，99，99，105，107
B类轮胎：95，95，98，99，104，109
根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数
B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差
C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
5．已知函数，若存在R，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．下列说法不正确的是（）
A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交
C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D.若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点
7．已知点，，，则的面积为（）
A.5 B.6
C.7 D.8
8．对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（）
A. B.
C. D.
9．函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
10．是上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，在长方体ABCD—中，AB＝3cm，AD＝2cm，，则三棱锥的体积___________.

12．写出一个能说明“若函数满足，则为奇函数”是假命题的函数：______
13．直线与直线平行，则__________
14．若，则________.
15．若，，则______
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
18． “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时（尾/立方米）时，的值为2（千克/年）；当时，是的一次函数；当（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为0（千克/年）.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值.
19．设函数且是奇函数
求常数k值；
若，试判断函数的单调性，并加以证明；
若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数m的值
20．如图，在圆柱中，，分别是上、下底面圆的直径，且，，分别是圆柱轴截面上的母线.

（1）若，圆柱的母线长等于底面圆的直径，求圆柱的表面积.
（2）证明：平面平面.
21．已知tanα＝，求下列各式的值
(1)＋；
(2)；
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】因为三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，
所以对于A,AC与AB夹角为60°,即两直线不垂直，所以AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A错误；
对于B,CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；
对于C,A1C1，B1E是异面直线；故C错误；
对于D,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；
故选D.
2、D
【解析】根据图象可得：，，，.，
则.令，，，而函数.即可求解.
【详解】解：函数，的图象如下：

根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，
则，，，.
，，
则.
令，，，而函数在，单调递增.
所以，则.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.
3、D
【解析】由题意得
选项A中，由于的图象关于点成中心对称，的图象不关于点成中心对称，故A不正确
选项B中，由于函数的图象关于点成中心对称，的图象关于直线成轴对称图形，故B不正确
选项C中，由于的周期为2π，的周期为π，故C不正确
选项D中，两个函数在区间上都是单调递增函数，故D正确
选D
4、D
【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.
【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；
对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误
对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误
对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确
故选：D
5、D
【解析】利用函数的奇偶性与单调性把函数不等式变形，然后由分离参数法转化为求函数的最值
【详解】是奇函数，且在上是增函数，
因此不等式可化为，
所以，，
由得的最小值是2，所以
故选：D
6、D
【解析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可
【详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，
对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确，
对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确，
对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误，
故选：D
7、A
【解析】设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，根据两点的距离公式求得|AB|，而AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，由点到直线的距离公式可求得选项
【详解】设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，而|AB|＝，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离
AB边所在的直线方程为，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为，
因此，S△ABC＝×2 ×＝5.
故选：A
8、B
【解析】根据函数在上是增函数，且是上凸函数判断.
【详解】由当时，总有，
得函数在上是增函数，
由，
得函数是上凸函数，
在上是增函数是增函数，是下凸函数，故A错误；
在上是增函数是增函数，是上凸函数，故B正确；
在上是增函数，是下凸函数；故C错误；
在上是减函数，故D错误.
故选：B
9、B
【解析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数值的特征，利用排除法判断可得；
【详解】解：因为，定义域为，且，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A、D，当时，，所以，故排除C，
故选：B
10、D
【解析】根据函数的周期性与奇偶性可得，结合当时，，得到结果.
【详解】∵
∴的周期为4，
∴，
又是上奇函数，当时，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据函数的性质将未知解析式的区间上函数的求值问题转化为已知解析式的区间上来求，本题考查了转化化归的能力及代数计算的能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.
【详解】根据题意可得，平面，
故可得，
又因为，
故可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.
12、（答案不唯一）
【解析】根据余弦型函数的性质求解即可.
【详解】解：因为，所以的周期为4，
所以余弦型函数都满足，但不是奇函数
故答案为：
13、3
【解析】时不满足条件，
直线与直线平行，

解得
14、
【解析】利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.
【详解】因为，
由

故答案为：
15、
【解析】利用指数的运算性质可求得结果.
【详解】由指数的运算性质可得.
故答案为：.
16、①②④
【解析】①取BD的中点O，连接OA,OC,所以,所以平面OAC，所以AC⊥BD；②设正方形的边长为a，则在直角三角形ACO中，可以求得OC=a，
所以△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45角；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝AB＝a，ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴NE＝AC＝a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确
考点：本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题，考查学生的空间想象能力.
点评：解决此类折叠问题，关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.
18、（1）
（2），鱼的年生长量可以达到最大值12.5
【解析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；
（2）根据题意，结合（1）建立一元二次函数模型求解即可.
【小问1详解】
解：（1）依题意，当时，
当时，是的一次函数，假设
且，，代入得：，解得.
所以
【小问2详解】
解：当时，，
当时，
所以当时，取得最大值
因为
所以时，鱼的年生长量可以达到最大值12.5.
19、（1）；（2）在上为单调增函数；（3）
【解析】（1）根据奇函数的定义，恒成立，可得 值，也可用奇函数的必要条件求出 值，然后用奇函数定义检验；（2）判断单调性，一般由单调性定义，设，判断的正负（因式分解后判别），可得结论；（3）首先由 ，得，这样就有
，这种函数的最值求法是用换元法，即设，把函数转化为二次函数的问题，注意在换元过程中“新元”的取值范围
试题解析：（1）函数的定义域为
函数 （且 ）是奇函数
，，
经检验可知，函数为奇函数，符合题意
（2）
设、为上两任意实数，且

，，， ，即
函数 在上为单调增函数.
（3），，解得或
且，
（ ）
令（），则
当时，，解得 ，舍去
当时， ，解得

考点：函数的奇偶性、单调性，函数的最值
20、（1）.
（2）证明见详解
【解析】（1）借助圆柱的母线垂直于底面构造直角三角形计算可得半径，然后可得表面积；
（2）构造平行四边形证明，结合已知可证.
【小问1详解】
连接CF、DF
，

因为CD为直径，记底面半径为R，EF=2R
则

又

解得R=2
圆柱的表面积.
【小问2详解】
连接、、、
由圆柱性质知且

且
四边形为平行四边形

又平面CDE，平面CDE
平面CDE
同理，平面CDE
又，平面ABH，平面ABH
平面平面.
21、（1）（2）（3）
【解析】(1) ＋＝＋
＝＋＝.
(2)＝＝＝.
(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α
＝＝
＝＝.