湖南师大附中思沁中学2026届数学高一上期末监测试题含解析.doc

湖南师大附中思沁中学2026届数学高一上期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列区间是函数的单调递减区间的是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）
A. B.
C. D.
3．如图所示韦恩图中，若A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，7}，则阴影部分表示的集合是（　　）

A.2，3，4，5，6， B.2，3，4，
C.4，5，6， D.2，6，
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A.“”是“”的充分条件
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”是“”的充要条件
5．函数且的图象恒过定点（）
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(0，－1) D.(－1，－2)
6．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A B.
C. D.
7．下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8．已知函数，，则的值域为（）
A. B.
C. D.
9． “当时，幂函数为减函数”是“或2”的（）条件
A.既不充分也不必要 B.必要不充分
C.充分不必要 D.充要
10．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为______，方差为______
12．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
13．已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是______.
14．函数的图象的对称中心的坐标为___________.
15．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为______________

16．若，其中，则的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值：
（3）求的值.
18．已知直线经过直线与直线的交点，并且垂直于直线
（Ⅰ）求交点的坐标；
（Ⅱ）求直线的方程
19．已知为坐标原点,,,若
(1)求函数的对称轴方程;
(2)当时,若函数有零点,求的范围.
20．已知函数是定义在上的偶函数，且.
（1）求实数的值，并证明；
（2）用定义法证明函数在上增函数；
（3）解关于的不等式.
21．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点
（1）求值
（2）已知，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】取， 得到，对比选项得到答案.
【详解】，取，，
解得，，当时，D选项满足.
故选：D.
2、A
【解析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正弦值.
【详解】如图，根据圆锥的性质得底面圆，
所以即为母线与底面所成角，
设圆锥的高为，则由题意，有
，所以，
所以母线的长为，
则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.
故选：A

【点睛】本题考查了圆锥的体积，线面角的概念，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据圆锥的性质得即为母线与底面所成角，再根据几何关系求解.
3、D
【解析】根据图象确定阴影部分的集合元素特点，利用集合的交集和并集进行求解即可
【详解】阴影部分对应的集合为{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
∵A∪B={1，2，3，4，5，6，7}，A∩B={3，4，5}，
∴阴影部分的集合为{1，2，6，7}，
故选D
【点睛】本题主要考查集合的运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键
4、B
【解析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为是集合A的子集，故“”是“”的必要条件，
故选项A为假命题；
当时，则，所以“”是“”的必要条件，
故选项B为真命题；
因为是上的减函数，所以当时，，
故选项C为假命题；
取，，但，
故选项D为假命题.
故选：B.
5、A
【解析】根据指数函数的图象恒过定点，即求得的图象所过的定点，得到答案
【详解】由题意，函数且，
令，解得，
，
的图象过定点
故选：A
6、C
【解析】
根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，，奇函数，不符合题意；
对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；
对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；
对于D，为奇函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.
7、C
【解析】利用不等式性质逐一判断即可.
【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；
选项B中，取，满足，但，故错误；
选项C中，若，则两边平方即得，故正确；
选项D中，取，满足，但，故错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.
8、A
【解析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.
【详解】由题意知，
，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
有，
所以，
故的值域为.
故选：A
9、C
【解析】根据幂函数的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.
【详解】当时，幂函数为减函数，
所以有，
所以幂函数为减函数”是“或2”的充分不必要条件，
故选：C
10、A
【解析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.
【详解】解：方程
所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点
记，
画出函数简图如下
画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，
向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，
所以，即
故选A.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.11 ②.54
【解析】由平均数与方差的性质即可求解.
【详解】解：由题意，数据，，…，的平均数为，方差为
故答案：11，54.
12、 ①. ②.
【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
13、
【解析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则，由可得，即，
所以，函数为上的减函数.
由于，
由题意可知，函数在上为减函数，则，
函数在上为减函数，则，
且有，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案：.
【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.
14、
【解析】利用正切函数的对称中心求解即可.
【详解】令＝ ()，得()，
∴对称中心的坐标为
故答案： ()
15、-1
【解析】根据题中条件可先排除①,②两个图象，然后根据③，④两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据二次函数图象的开口方向就可确定a的值.
【详解】∵b＞0∴二次函数的对称轴不能为y轴，∴可排除掉①,②两个图象
∵③，④两个图象都经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1
∵当a＝1时，二次函数图象的开口向上，对称轴在y轴左方，
∴第四个图象也不对，∴a＝﹣1，
故答案为：-1
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，做题时注意题中条件的利用，合理地利用排除法解决选择题
16、；
【解析】
因为，所以
点睛：三角函数求值三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.
（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.
（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.
【小问1详解】
由题设，，，
∴，，
又.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
由，则，
由，则，
∴，，又，，则，
∴，而，故.
18、 (Ⅰ) ；（Ⅱ）.
【解析】（I）联立两条直线的方程，解方程组可求得交点坐标，已知直线的斜率为，和其垂直的直线斜率是，根据点斜式可写出所求直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）由得
所以(，).
（Ⅱ）因为直线与直线垂直，
所以，
所以直线的方程为.
19、（1），（2）
【解析】（1）先利用数量积的坐标表示以及三角恒等变换化简三角函数得，再根据正弦函数的对称性即可得出结论；
（2）由题意得有解，求出函数在区间上的值域即可得出结论
【详解】解:（1），，
，
对称轴方程为，
即；
（2）,有零点，，
，，，
，

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题
20、（1），证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）由偶函数性质求，由列方程求，再证明；
（2)利用单调性定义证明函数的单调性；
(3)利用函数的性质化简可求.
【小问1详解】
因为函数是定义在R上的偶函数
∴
，综上，
从而
【小问2详解】
证明：因为
设，所以
又，∴
所以
∴在上为增函数；
【小问3详解】
∵.
∵偶函数在上为增函数．在上为减函数
∴
21、（1）
（2）
【解析】（1）依题意，将原式利用诱导公式化简，分子分母同除，代入正切计算可求出结果.（2）由终边所过点以及二倍角公式可计算和的三角函数值，利用平方和为1求出，代入两角和的余弦可计算的值.
【小问1详解】
依题意，
原式

【小问2详解】
因为是第一象限角，且终边过点，
所以，，
所以，，
因为，且，所以，
所以