2026届厦门市海沧中学数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2026届厦门市海沧中学数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）
A. B.10
C. D.5
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（　　）

A.4 B.
C. D.2
3． “”是“为第二象限角”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．设，则下列不等式一定成立的是（）
A B.
C. D.
5．若圆锥的底面半径为2cm，表面积为12πcm2，则其侧面展开后扇形的圆心角等于（　　）
A. B.
C. D.
6．C，S分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对取值的是（ ）
A. B.
C. D.
7．设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．若是的重心，且（，为实数），则（ ）
A. B.1
C. D.
9．已知函数，下列说法错误的是（）
A.函数在上单调递减
B.函数是最小正周期为的周期函数
C.若，则方程在区间内，最多有4个不同的根
D.函数在区间内，共有6个零点
10．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）
A.R B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知且，则=______________
12．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
13．已知幂函数（为常数）的图像经过点，则__________
14．在内，使成立的x的取值范围是____________
15．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.
16．若是第三象限的角，则是第________象限角；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的对称轴和对称中心；
（3）若，，求的值
18．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
19．某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天
2
6
20
市场价y元
102
78
120
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.
20．已知函数，
（1）设，若是偶函数，求实数的值；
（2）设，求函数在区间上的值域；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围
21．已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.
（1）求M；
（2）若，对，有，求t的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由向量的线性运算，求得，根据三点共线，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由，，
可得，
因为，，三点共线，所以，
所以存在唯一的实数，使得，即，
所以，解得，.
故选：A.
2、B
【解析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱
【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面

根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，
所以该四棱锥的最长棱为
故选B
【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．熟悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力
3、B
【解析】利用辅助角公式及正弦函数的性质解三角形不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件即可；
【详解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角为，因为真包含于，所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件；
故选：B
4、D
【解析】对ABC举反例判断即可；对D，根据函数的单调性判断即可
【详解】对于A，，，选项A错误；
对于B，，时，，不存在，选项B错误；
对于C，由指数函数的单调性可知，选项C错误；
对于D，由不等式性质可得，选项D正确
故选：D
5、D
【解析】利用扇形面积计算公式、弧长公式及其圆的面积计算公式即可得出
【详解】设圆锥的底面半径为r=2，母线长为R，其侧面展开后扇形的圆心角等于θ
由题意可得：，解得R=4
又2π×2=Rθ
∴θ=π
故选D
【点睛】本题考查了扇形面积计算公式、弧长公式及其圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
6、B
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，，根据选项代入数据一一检验即可
【详解】设扇形半径为，弧长为，
则，
当，有，则无解，故A错；
当，有得，故B正确；
当，有，则无解，故C错；
当，有，则无解，故D错；
故选：B
7、C
【解析】将分别看成对应函数的交点的横坐标，在同一坐标系作出函数的图像，数形结合可得答案.
【详解】在同一坐标系中分别画出，，的图象，

与的交点的横坐标为，
与的图象的交点的横坐标为，
与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出
故选：C
8、A
【解析】若与边的交点为,再由三角形中线的向量表示即可.
【详解】若与边交点为，则为边上的中线，
所以，
又因为，
所以
故选:A
【点睛】此题为基础题，考查向量的线性运算.
9、B
【解析】A.由时，判断；B.易知是偶函数，作出其图象判断； C.在同一坐标系中作出的图象判断； D.根据函数是偶函数，利用其图象，判断的零点个数即可.
【详解】A.当时，，而，上递减，故正确；
B.因为，所以是偶函数，当时，，作出其图象如图所示：

由图象知；函数不是周期函数，故错误；
C.在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象知：当，方程在区间内，最多有4个不同的根，故正确；
D.因为函数是偶函数，只求的零点个数即可，如图所示：

由函数图象知，在区间内共有3个，所以函数在区间内，共有6个零点，故正确；
故选：B
10、C
【解析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设，因为的图象过点，
所以，解得，则，
故的定义域为
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】先换元求得函数，然后然后代入即可求解.
【详解】且，令，则，即，解得，
故答案为：3.
12、
【解析】先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.
【详解】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.
13、3
【解析】设，依题意有，故.
14、
【解析】根据题意在同一个坐标系中画出在内的函数图像，由图求出不等式的解集
【详解】解：在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示，
则使成立的x的取值范围是，
故答案为：

15、##
【解析】将目标式转化为，应用柯西不等式求取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，则，
又，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为：.
16、一或三
【解析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
，
所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.
故答案：一或三

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出和，然后将展开求值即可
【详解】（1）.
所以函数的最小正周期.
（2）由于，
令，，得，
故函数的对称轴为.
令，，得，
故函数的对称中心为.
（3）因为，所以,
即，
因为，所以，
则，，
所以.
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题
18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据并集的概念运算可得结果；
（2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）因为，
（i）当，即时，，符合题意；
（ii）当时，，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况.
19、（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）
【解析】(1)根据函数的单调性选取即可.
(2) 把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.
(3)参变分离后再求解最值即可.
【详解】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择.
（2）把点代入中，
得，
解得，

∴当时，y有最小值
故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元 ，
（3）由题意，令，
若存在使得不等式成立，则须，
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题的题型,需要根据题意求解对应的二次函数式再分析最值与求参数.属于中等题型.
20、 (1) (2) (3)
【解析】（1）根据偶函数定义得，再根据对数运算性质解得实数的值；（2）根据对数运算法则得，再求分式函数值域，即得在区间上的值域（3）设，将不等式化为，再分离变量得 且，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值范围.
试题解析：（1）因为是偶函数，
所以，
则恒成立，所以.
（2）
，
因为，所以，所以，
则，则，
所以，即函数的值域为.
（3）由，得，
设，则，设
若则，由不等式对恒成立，
①当，即时，此时恒成立；
②当，即时，由解得；
所以；
若则，则由不等式对恒成立，
因为，所以 ，只需，解得；
故实数的取值范围是.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
21、（1）
（2）1
【解析】（1）分类讨论即可求得实数a的所有取值构成的集合M；
（2）先求得的最大值2，再解不等式即可求得t的最小值.
【小问1详解】
当时，满足题意；
当时，要使不等式的解集为R，
必须，解得，
综上可知，所以
【小问2详解】
∵，∴，
∴，（当且仅当时取“=”）
∴，
∵，有，∴，
∴，∴或，
又，∴，∴ t的最小值为1.