安徽省滁州市来安县第三中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

安徽省滁州市来安县第三中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．设集合，则（）
A. B.
C. D.
3．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是　　
A. B.
C. D.
5．若角的终边过点，则
A. B.
C. D.
6．在长方体中， ， ，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7．设，且，则（ ）
A. B.10
C.20 D.100
8．对于直线的截距，下列说法正确的是
A.在y轴上的截距是6 B.在x轴上的截距是6
C.在x轴上的截距是3 D.在y轴上的截距是-3
9．函数是（）
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
10．下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．当时，函数取得最大值，则___________.
12．已知奇函数f（x），当，，那么___________.
13．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长为时，的值等于________.
14．东方设计中的 “白银比例” 是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）．设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为________

15．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量
①若2，则、线性相关；
②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；
③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；
④向量、线性相关的充要条件是、共线
上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）
16．函数的图象为，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）.
①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
④函数在区间内是增函数.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知幂函数的图象经过点
（1）求的解析式；
（2）设，
（i）利用定义证明函数在区间上单调递增
（ii）若在上恒成立，求t的取值范围
18．已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数m的值；
（2）当时，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数，求函数的单调递减区间、对称中心.
19．某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元，，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本）
（1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式；
（2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.
20．已知函数.
（1）若在上是减函数，求的取值范围；
（2）设，，若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.
21．设为定义在R上的偶函数，当时，；当时，，直线与抛物线的一个交点为，如图所示.

（1）补全的图像，写出的递增区间（不需要证明）；
（2）根据图象写出不等式的解集
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】因为与夹角为锐角，所以cos<,>>0，且与不共线，由得，k>－2且，故选B
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量夹角公式
点评：基础题，由夹角为锐角，可得到k得到不等式，应注意夹角为0°时，夹角的余弦值也大于0.
2、D
【解析】根据绝对值不等式的解法和二次函数的性质，分别求得集合，即可求解.
【详解】由，解得，即，即，
又由，即，
所以.
故选：D.
3、B
【解析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；
【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，
，，，
所以在上存在一个零点.
故选：.
【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题
4、A
【解析】由题意，设，则，又由，求得，得t值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案
【详解】根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，
则为常数，设，则，
又由，即，则有，解可得，则，
若，即，则，
若，必有，
则有，又由，则，
解可得，即，所以，
故选A
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题
5、D
【解析】角的终边过点，
所以.
由角，得.
故选D.
6、D
【解析】如图，连接交于点 ，连接，则结合已知条件可证得为直线与平面 所成角，然后根据已知数据在求解即可
【详解】解：如图，连接交于点 ，连接，
因为长方体中， ，
所以四边形为正方形，
所以，，所以 ，
因为平面，所以 ，
因为，所以 平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ，
故选：D

【点睛】此题考查线面角的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
7、A
【解析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得
故选：A.
8、A
【解析】令，得y轴上的截距，令得x轴上的截距
9、A
【解析】由题可得，根据正弦函数的性质即得.
【详解】∵函数，
∴函数为最小正周期为的奇函数.
故选：A.
10、D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案
详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
对于D，，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】由辅助角公式，正弦函数的性质求出，，再根据两角和的正切和公式，诱导公式求.
【详解】（其中，），
当时，函数取得最大值
∴ ，，即，，
所以，.
故答案为：.
12、
【解析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值.
【详解】由f（x）为奇函数，可知，则
又当，，则
故
故答案为：
13、
【解析】结合题意，得到圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，计算a，即可
【详解】结合题意可知圆心到直线的距离，所以结合点到直线距离公式
可得，结合，所以
【点睛】考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式，难度中等
14、##
【解析】设原扇形半径为，剪下小扇形半径为，，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比
【详解】解：由题意，如图所示，设原扇形半径为，剪下小扇形半径为，，
则小扇形纸面面积，折扇纸面面积，
由于时，可得，可得，
原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为：
故答案为：

15、①④
【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确
【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量
反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关
故和线性相关等价于和是共线向量
①若2 ，则2 0，故和线性相关，故①正确
②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确
③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，
和可以是任意的两个向量．故③不正确
④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确
故答案为①④
【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键
16、①②④
【解析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象.
【详解】由题意，，令，，
当时，即函数的一条对称轴，所以①正确；
令，，当时，，所以是函数的一个对称中心，所以②正确；
当，，在区间内是增函数，所以④正确；
的图象向右平移个单位长度得到，与函数不相等，所以③错误.
故答案为：①②④.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）设，然后代点求解即可；
（2）利用定义证明函数在区间上单调递增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范围
【小问1详解】
设，
则，得，
所以
【小问2详解】
（i）由（1）得
任取，，且，
则

因为，所以，，所以，即
所以函数在上单调递增
（ii）由（i）知在单调递增，
所以在上，
因为在上恒成立，所以，
解得
18、（1）3（2）单调递减区间为；对称中心.
【解析】（1）先对化简，根据最大值求m；
（2）利用整体代入法求单调递减区间和对称中心.
【小问1详解】
，
由，所以在区间上的最大值为2+m+1=6，解得m=3.
【小问2详解】
由（1）知，.
将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到
.
要求函数的单调递减区间，只需，解得.
所以的单调递减区间为
要求函数的对称中心，只需，解得.
所以的对称中心为.
19、（1）；
（2）当年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元
【解析】（1）根据利润收入成本可得函数解析式；
（2）分别在和两种情况下，利用二次函数和对勾函数最值的求法可得结果.
【小问1详解】
由题意得：；
【小问2详解】
当时，，
则当时，；
当时，（当且仅当，即时取等号），；
，当，即年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元.
20、 (1) (2)
【解析】(1)由题意结合函数单调性的定义得到关于a的表达式，结合指数函数的性质确定的取值范围即可；
(2)利用换元法将原问题转化为二次方程根的分布问题，然后求解实数的取值范围即可.
【详解】（1）由题设，若在上是减函数，
则任取，，且，都有，即成立.
∵

.
又在上是增函数，且，
∴由，得，
即，且.
∴只须，解.
由，，且，知，
∴，即，
∴.
所以在上是减函数，实数的取值范围是.
（2）由题知方程有且只有一个实数根，
令，则关于的方程有且只有一个正根.
若，则，不符合题意，舍去；
若，则方程两根异号或有两个相等的正根.
方程两根异号等价于解得；
方程有两个相等的正根等价于解得；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）图像见解析，单调增区间，
（2）
【解析】（1）由偶函数的图象关于轴对称可补全图象，然后写出递增区间；
（2）根据图象写出答案即可.
【小问1详解】
函数图象如图所示：

观察可知的单调增区间为，
【小问2详解】
当时，，可得，即
根据函数图象可得，当或时，
所以的解集为