2025年浙江省杭州市第四中学 数学高一上期末考试模拟试题含解析.doc

2025年浙江省杭州市第四中学 数学高一上期末考试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直

以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③ D.①②③
2．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是
A. B.
C. D.
3．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是()
A. B.
C. D.
4．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数的值为

A. B.
C. D.
5．已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（）
A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
6．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）
A.（3，4） B.（2，4）
C.[0，4） D.[3，4）
7．若函数y=|x|（x-1）的图象与直线y=2（x-t）有且只有2个公共点，则实数t的所有取值之和为（　　）
A.2 B.
C.1 D.
8．已知，，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）
①；②；③；④
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
12．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________
13．已知向量的夹角为，，则__________.
14．函数的图像恒过定点___________
15．已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________
16．当时，使成立的x的取值范围为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算下列各式的值：
（I） ;
（Ⅱ）log327+lg25+1g4+log42．
18．已知函数为上奇函数
（1）求实数的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的最小值
19．已知函数，函数为R上的奇函数，且.
（1）求的解析式：
（2）判断在区间上的单调性，并用定义给予证明：
（3）若的定义域为时，求关于x的不等式的解集.
20．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（）．但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量．为了描述声强级D（）与声强I（）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据：
组别
1
2
3
4
5
6
7
声强I（）

①

声强级D（）
10
13.01
14.77
16.02
20
40
②
现有以下三种函数模型供选择：
（1）试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值；
（3）已知烟花的噪声分贝一般在，其声强为；鞭炮的噪声分贝一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由
21．如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.

求证：（1）直线平面；
（2）平面 平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案
【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确
对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确
对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确
故选：C
【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题
2、A
【解析】由函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍得到，向右平移个单位得到，将代入得，所以函数的一个对称中心是，故选A
3、D
【解析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项
【详解】是最小正周期为的奇函数，故A错误；
的最小正周期是π是偶函数，故B错误；
是最小正周期是π是偶函数，故C错误；
最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒
故选：D
4、B
【解析】所以，所以。故选B。
5、C
【解析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断.
【详解】为奇函数,则，
但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数，
所以是的充分不必要条件，
故选：C.
6、D
【解析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得.
【详解】由方程有四个不同的实数根，
得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线

由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，
设与交点的横坐标为，，设，则，，
由得，
所以，即
设与的交点的横坐标为，，
设，则，，且，
所以，
则
故选：D.
7、C
【解析】可直接根据题意转化为方程有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即可求得各个t的值
【详解】由题意得方程有两个不等实根，
当方程有两个非负根时，
令 时，则方程为，整理得
，解得；
当时，
，解得，故不满足满足题意；
当方程有一个正跟一个负根时，
当时，，
，解得，
当时，方程为，
，解得；
当方程有两个负根时，
令，则方程为，
解得，
当，
，解得，不满足题意
综上，t的取值为 和，
因此t的所有取值之和为1，故选C
【点睛】本题是在二次函数的基础上加了绝对值，所以首先需解决绝对值，关于去绝对值直接用分类讨论思想即可；
关于二次函数根的分布需结合对称轴，判别式，进而判断，必要时可结合进行判断
8、C
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.
【详解】由为单调递减函数，则，
为单调递减函数，则，
为单调递增函数，则
故.
故选：C
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.
9、D
【解析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.
【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解
令，，
当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增
且，，
由图1知，此时函数与在上只有一个交点；
当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.
综上，的取值范围为.
故选：D

10、D
【解析】对每个函【解析】判断奇偶性及单调性即可.
【详解】对于①，，奇函数，在和上分别单增，不满足条件；
对于②，，偶函数，不满足条件；
对于③，，奇函数，在R上单增，符合题意；
对于④，，奇函数，在R上单增，符合题意；
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为：.
12、
【解析】先由已知条件求出的函数关系式，也就是当时的函数关系式，再求得，然后求的值即可
【详解】解：当时，，
∴，
∵函数是定义在上的奇函数，
∴，
∴，即
由题意得，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了分段函数求值，考查了奇函数的性质，属于基础题.
13、
【解析】由已知得，
所以，
所以
答案：
点睛：向量数量积的求法及注意事项：
（1）计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用
（2）求向量模的常用方法：利用公式，将模的运算转化为向量的数量积的运算，解题时要注意向量数量积运算率的灵活应用
（3）利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧
14、
【解析】
根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点.
【详解】因为指数函数（,且）过定点
是将向左平移2个单位得到
所以过定点.
故答案为：.
15、
【解析】设出幂函数的函数表达，然后代点计算即可.
【详解】设，因为，所以，所以函数的解析式是
故答案为：.
16、
【解析】根据正切函数的图象，进行求解即可
【详解】由正切函数的图象知，当时，
若，
则，
即实数x的取值范围是，
故答案为
【点睛】本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）；（II）.
【解析】利用有理数指数幂，根式的运算性质及对数的运算性质对（Ⅰ）、（Ⅱ）、逐个运算即可．
【详解】（Ⅰ）+（）2+（-）0
=
=2-3+2-2+1
=
=；
（Ⅱ）log327+lg25+1g4+log42
=
=3+2lg5+2lg2+
=3+2+
=．
【点睛】本题考查有理数指数幂，根式及对数的运算性质的化简求值，熟练掌握运算性质是关键，考查运算能力，属于基础题．
18、（1）；（2）
【解析】（1）由奇函数得到，再由多项式相等可得；
（2）由是奇函数和已知得到，再利用是上的单调增函数得到对任意恒成立．利用参数分离得对任意恒成立，再求，上最大值可得答案
【详解】（1）因为函数为上的奇函数，
所以对任意成立，
即对任意成立，
所以，所以
（2）由得，
因为函数为上的奇函数， 所以
由（1）得，是上的单调增函数，

故对任意恒成立
所以对任意恒成立
因为，
令，由，得，即
所以的最大值为，故，
即的最小值为
【点睛】本题考查了函数的性质，不等式恒成立的问题，第二问的关键点是根据函数的为单调递增函数，得到，再利用参数分离后求的最大值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
19、（1）；
（2）单调递增.证明见解析；
（3）
【解析】（1）列方程组解得参数a、b，即可求得的解析式；
（2）以函数单调性定义去证明即可；
（3）依据奇函数在上单调递增，把不等式转化为整式不等式即可解决.
【小问1详解】
由题意可知，即，解之得，
则，经检验，符合题意.
【小问2详解】
在区间上单调递增.
设任意，且，
则
由，且，可得
则，即
故在区间上单调递增.
【小问3详解】
不等式可化为
等价于，解之得
故不等式的解集为
20、（1），理由见解析
（2），
（3），理由见解析
【解析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果；
（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①处的值；由已知可得时，可得，进而可求出当时的值，进而求出②处的值；
（3）设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系.
【小问1详解】
解：选择.
由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是
同一个常数，所以不应该选择一次函数；
同时当自变量增加量为时，函数值的增加量从变为，后又缩小为，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；
故应选择.
由已知可得：，即，解之得
所以解析式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，
令，可得，，故①处应填；
由已知可得时，，
所以，
又当时，，
故②处应填.
【小问3详解】
解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，
由已知，
故有，
所以，
因此，即，所以.
21、 (1)证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.
【详解】（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面
（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面
【考点】线面平行与面面垂直