福建省厦门市翔安一中2026届数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

福建省厦门市翔安一中2026届数学高一第一学期期末教学质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．（ ）
A B.
C. D.
2．已知全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为

A. B.
C. D.
3．若条件p：，q：，则p是q成立的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
4．已知，则（　　）
A. B.
C. D.
5．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（）

A.90° B.45°
C.60° D.30°
6．如图所示，在中，D、E分别为线段、上的两点，且，，，则的值为（ ）.

A. B.
C. D.
7．若方程在区间内有两个不同的解，则
A. B.
C. D.
8．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（）
A. B.
C. D.
9．设点分别是空间四边形的边的中点，且，，，则异面直线与所成角的正弦值是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知偶函数f (x)在区间单调递增，则满足的x 取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，其中，则的值为______
12．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_____________.
13．已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________
14．已知函数的零点依次为a，b，c，则＝________
15．已知函数，，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是________
16．函数的零点个数为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知且，函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并用定义证明；
（3）求使的取值范围.
18．已知函数.
（1）化简；
（2）若，求下列表达式的值：①；②.
19．已知圆外有一点，过点作直线
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长
20．已知
（1）求；
（2）若，求.
21．某市郊区有一加油站，2018年初汽油的存储量为50吨，计划从年初起每周初均购进汽油吨，以满足城区内和城外汽车用油需求，已知城外汽车用油每周5吨；城区内汽车用油前个周需求量吨与的函数关系式为，为常数，且前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨.
（1）试写出第个周结束时，汽油存储量（吨）与的函数关系式；
（2）要使16个周内每周按计划购进汽油之后，加油站总能满足城区内和城外的需求，且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨，试确定的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由根据诱导公式可得答案.
【详解】
故选：A
2、A
【解析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于，不属于，结合所给的集合求解即可确定阴影部分所表示的集合.
【详解】由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集），即.
【点睛】本题主要考查集合表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3、B
【解析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性
【详解】由不能推出，例如，
但必有，
所以p是q成立的必要不充分条件.
故选：B.
4、C
【解析】因为，所以；
因为，，所以，
所以．选C
5、D
【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.
【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°
故选：D.

6、C
【解析】由向量的线性运算可得＝+，可得，又A，M，D三点共线，则存在b∈R，使得，则可建立关于a，b的方程组，即可求得a值，从而可得λ，μ，进而得解
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，
所以，
又A，M，D三点共线，则存在b∈R，
使得，
所以，解得，
所以，
因为，
所以由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，
所以λ+μ＝
故选：C
7、C
【解析】由，得，
所以函数的图象在区间内的对称轴为
故当方程在区间内有两个不同的解时，则有
选C
8、A
【解析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.
【详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意；
对于B：为非奇非偶函数，不合题意；
对于C：为非奇非偶函数，不合题意；
对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意.
故选：A.
9、C
【解析】取BD中点G，连结EG、FG
∵△ABD中，E、G分别为AB、BD的中点
∴EG∥AD且EG=AD=4，
同理可得：FG∥BC且FG=BC=3，
∴∠FEG（或其补角）就是异面直线AD与EF所成的角

∵△FGE中，EF=5，EG=4，FG=3，∴EF2=25=EG2+FG2，得
故答案为C．
10、A
【解析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、；
【解析】
因为，所以
点睛：三角函数求值三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
12、
【解析】根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.
【详解】由解析式得大致图象如下图所示：

由图可知：当时且，则令，解得：，
，又，，
，
令，则，
，即.
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据分段函数函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.
13、
【解析】设出幂函数的函数表达，然后代点计算即可.
【详解】设，因为，所以，所以函数的解析式是
故答案为：.
14、
【解析】根据对称性得出，再由得出答案.
【详解】因为函数与的图象关于对称，函数的图象关于对称，所以，又，所以.
故答案为：
15、.
【解析】因为,所以
即的取值范围是.
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等
16、3
【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，

由图象可知，函数有3个零点（3个零点分别为，0，2）.
故答案为：3

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）函数是偶函数，详见解析；
（3）当时，；当时，或.
【解析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；
（2）函数是偶函数，根据偶函数的定义证明即可；
（3）不等式化为后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.
【小问1详解】
要使函数数有意义，则必有，解得，
所以函数的定义域是；
【小问2详解】
函数是偶函数，证明如下：
∵，，
又
∴函数是偶函数；
【小问3详解】
使，即
当时，有，，
当时，有，解得或.
综上所述：当时，；当时，或.
18、（1）
（2）①，②；
【解析】（1）直接利用诱导公式化简即可；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：因为，所以；
【小问2详解】
解：由，得
①
②

19、（1）或（2）
【解析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;
(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线距离,由弦长公式即可得出答案.
【详解】解: (1)由题意可得,直线与圆相切
当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意
当斜率存在时，设直线的方程为,即
∴,解得
∴直线的方程为
∴直线的方程为或
(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为
圆心到直线的距离为
∴弦长为
【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
20、（1）
（2）
【解析】（1） 利用诱导公式可得答案；
（2）利用诱导公式得到，再根据的范围和平方关系可得答案.
小问1详解】
.
【小问2详解】
，
若，则，
所以.
21、 (1) (2)
【解析】（1）根据题意前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨，得，；（2）每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨，故，恒成立,转化为恒成立，通过换元分别求得函数的最值即可
解析：
（1）由已知条件得，解得.
所以.
.
（2）由题意，，所以，恒成立，
即 恒成立.
设，则，
所以（）恒成立，
由（）恒成立，
得（当，即时取等号）；
由（）恒成立，
得（当，即时取等号），
所以的取值范围是.
点睛：这个题目考查了函数的实际应用；对于这种题目，首先理解好题意，找到函数模型，列出数学表达式，注意函数的定义域要结合实际．在处理表达式时，通常会遇到求函数的最值和值域的问题，一般高次的会用到求导，研究单调性等．也可能通过换元将函数转化为熟悉的二次，或单调函数．