2025年山西省晋中市平遥二中数学高一第一学期期末预测试题含解析.doc

2025年山西省晋中市平遥二中数学高一第一学期期末预测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2．若在是减函数，则的最大值是
A. B.
C. D.
3．已知．则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．下列函数为奇函数的是
A. B.
C. D.
5．已知函数表示为

设，的值域为，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
6．函数（且）的图像必经过点（）
A. B.
C. D.
7．设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)（）
A.在区间，(1，e)内均有零点
B.在区间，(1，e)内均无零点
C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
8．若函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．若，，，则（）
A. B.
C. D.
10．若实数，满足，则的最小值是（）
A.18 B.9
C.6 D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．的值为______.
12．若且，则取值范围是___________
13．已知扇形弧长为20cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.
14．函数的定义域为_____________
15．函数定义域为________.（用区间表示）
16．已知且，则的最小值为______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）化简并求的值；
（2）若是第三象限角，且，求
18．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图

（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
19．已知函数对任意实数x，y满足，，当时，
判断在R上的单调性，并证明你的结论
是否存在实数a使f 成立？若存在求出实数a；若不存在，则说明理由
20．已知函数的图象（部分）如图所示，

（1）求函数的解析式和对称中心坐标；
（2）求函数的单调递增区间
21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形.

（1）画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
（2）求证：；
（3）求四棱锥外接球的直径.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及表示符号，及规定空集是任何非空集合的真子集，即可找出错误的个数
【详解】解： “”表示集合与集合间的关系，所以①错误；
集合中元素是数，不是集合元素，所以②错误；
根据子集的定义，{0，1，2}是自身的子集，
空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；
所表示的关系中，错误的个数是2
故选：B
2、A
【解析】因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
3、A
【解析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.
【详解】，，
则或，
由得，
由得，
显然，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.
4、D
【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D
考点：函数的奇偶性
5、A
【解析】根据所给函数可得答案.
【详解】根据题意得，的值域为.
故选：A .
6、D
【解析】根据指数函数的性质，求出其过的定点
【详解】解：∵（且），且
令得，则函数图象必过点，
故选：D
7、D
【解析】求出导函数，由导函数的正负确定函数的单调性，再由零点存在定理得零点所在区间
【详解】当x∈时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减
又＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内
故选：D
8、D
【解析】数形结合：根据所给函数作出其草图，借助图象即可求得答案
【详解】，
令，即，解得或，，
作出函数图象如下图所示：

因为函数在闭区间上有最大值5，最小值1，
所以由图象可知，
故选：D
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键
9、A
【解析】先变形，然后利用指数函数的性质比较大小即可
【详解】，
因为在上为减函数，且，
所以，所以，
故选：A
10、C
【解析】，利用基本不等式注意等号成立条件，求最小值即可
【详解】∵，，
∴当且仅当，即，时取等号
∴的最小值为6
故选：C
【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，注意应用基本不等式的前提条件：“一正二定三相等”

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、11
【解析】进行对数和分数指数幂的运算即可
【详解】原式
故答案为：11
12、或
【解析】分类讨论解对数不等式即可.
【详解】因为，所以，
当时，可得，
当时，可得.
所以或
故答案为：或
13、
【解析】求出扇形的半径后，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】由已知得弧长，，
所以该扇形半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：
14、
【解析】令解得答案即可.
【详解】令.
故答案为：.
15、
【解析】由对数真数大于0，偶次根式被开方式大于等于0，列出不等式组求解即可得答案.
【详解】解：由，得，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
16、9
【解析】因为且，所以
取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；.
（2）
【解析】（1）根据三角函数的诱导公式，准确运算，求得，进而求得的值；
（2）由，得到，，进而求得.
【小问1详解】
解：由函数，
所以.
【小问2详解】
解：因为是第三象限角，且，可得，
所以，所以.
18、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是＝230.------------- 5分
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分
抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分
考点：频率分布直方图及分层抽样
19、（1）在上单调递增，证明见解析；（2）存在，.
【解析】（1）令，则，根据已知中函数对任意实数满足，当时，易证得，由增函数的定义，即可得到在上单调递增；（2）由已知中函数对任意实数满足，，利用“凑”的思想，我们可得，结合（1）中函数在上单调递增，我们可将转化为一个关于的一元二次不等式，解不等式即可得到实数的取值范围
试题解析：（1）设，∴，又，
∴

即，∴在上单调递增
（2）令，则，
∴
∴，∴，即，
又在上单调递增，∴，
即，解得，故存在这样的实数，即
考点：1.抽象函数及其应用；2.函数单调性的判断与证明；3.解不等式.
【方法点睛】本题主要考查的是抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,属于中档题，此类题目解题的核心思想就是对抽象函数进行变形处理，然后利用定义变形求出的大小关系，进而得到函数的单调性，对于解不等式，需要经常用到的利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化，求出常数所对的函数值，从而利用前面证明的函数的单调性进行转化为关于的一元二次不等式，因此正确对抽象函数关系的变形以及利用“凑”的思想，对已知的函数值进行转化是解决此类问题的关键.
20、（1），对称中心；（2），
【解析】(1) 由函数的图象得出A，求出函数的四分之一周期，从而得出ω，代入最高点坐标求出φ，得函数的解析式，进而求出对称中心坐标；
（2）令，从而得到函数的单调递增区间.
【详解】（1）由题意可知，，，，
又当时，函数取得最大值2，所以，，又因为，所以，所以函数，
令，，
得对称中心 ，.
（2）令，
解得，，
所以单调递增区间为，
【点睛】求y＝Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y＝Asin（ωx+φ）的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标时，要把ωx+φ看作整体，分别代入正弦函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标分别求出x，这儿利用整体的思想；求y＝Asin（ωx+φ）的最大值，需要借助正弦函数的最大值的求解方法即可
21、 (1)见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形（内含对角线），如图，即可得出面积
(2)设法证明面即可；
（3）由侧视图可求得即为四棱锥外接球的直径
试题解析：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，
边长为6的正方形，如图，其面积为36.

(2)证明：因为底面，底面，
所以，由底面为正方形，所以,
，面，面，
所以面，面，所以
（3）由侧视图可求得
由正视图可知，所以在Rt△中，
.
所以四棱锥外接球直径为.