河南省永州市新田县第一中学2025年数学高二第一学期期末质量检测试题含解析.doc

河南省永州市新田县第一中学2025年数学高二第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有、、、、、共名选手其中名男生名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出名选手答题，则至少有名女同学被选中的概率是（）
A. B.
C. D.
3．已知数列满足且，则（）
A.是等差数列 B.是等比数列
C.是等比数列 D.是等比数列
4．函数的最大值为（）
A.32 B.27
C.16 D.40
5．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）
A. B.
C. D.
6．若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（）
A. B.2
C. D.4
7．命题“，”的否定形式是（）
A.“，” B.“，”
C.“，” D.“，”
8．如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）

A. B.
C. D.
9．已知数列中，，则（ ）
A. B.
C. D.
10．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）

A. B.
C. D.
11．已知圆与圆外切，则（）
A. B.
C. D.
12．方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）
A. B.
C.或 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆，则圆心坐标为______.
14．若无论实数取何值，直线与圆恒有两个公共点，则实数的取值范围为___________.
15．已知等比数列的各项均为实数，其前项和为，若，，则__________.
16．某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
雨
雨
阴
晴
晴
晴
雨
估计运动会期间不下雨的概率为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在多面体中，和均为等边三角形，D是的中点，.

（1）证明：；
（2）若，求多面体的体积.
18．（12分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图

（1）求值并估计中位数所在区间
（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由
19．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
20．（12分）设等比数列的前项和为，且（）
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：
21．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点

（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值
22．（10分）在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.
【详解】解：由椭圆方程得，即，
因为由椭圆的定义得，，
所以，
因为是的中点，是的中点，
所以.
故选：A
2、D
【解析】现场选名选手，共种情况，设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况，共有6种，利用对立事件进行求解，即可得到答案；
【详解】现场选名选手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，不妨设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况是：，，，，，共种， 则至少有一名女同学被选中的概率为.
故选：.
3、D
【解析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.
【详解】由，可得，所以，
又由，，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以，，，
，所以不是等差数列；
不等于常数，所以不是等比数列.
故选：D.
4、A
【解析】利用导数即可求解.
【详解】因为，所以当时，；
当时，.
所以函数在上单调递增；在上单调递增,，
因此，的最大值为.
故选：A
5、A
【解析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可
【详解】
如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离
故选：A
6、A
【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值
【详解】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，
点到直线的距离为，
所以所求最大值为
故选：A

7、C
【解析】由全称命题的否定是特称命题即得.
【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.
命题“，”的否定形式是“，”.
故选：C.
8、D
【解析】代入计算即可.
【详解】设B点的坐标为 ，由抛物线方程 得 ，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.
故选：D
9、D
【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.
【详解】由，
可得，，
，
故选： D.
10、C
【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.
【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为
所以球的体积为, 表面积为.
圆柱的体积为：,所以其体积之比为：
圆柱的侧面积为：, 圆柱的表面积为：
所以其表面积之比为：
故选：C
11、D
【解析】根据两圆外切关系，圆心距离等于半径的和列方程求参数.
【详解】由题设，两圆圆心分别为、，半径分别为1、r，
∴由外切关系知：，可得.
故选：D.
12、D
【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.
【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】将圆的一般方程配方程标准方程即可.
【详解】圆，即，它的圆心坐标是.
故答案为：.
14、
【解析】根据点到直线的距离公式得到，根据，解不等式得到答案.
【详解】依题意有圆心到直线的距离，即，
又无论取何值，，故，故.
故答案：
15、1
【解析】分公比和两种情况讨论，结合，，即可得出答案.
【详解】解：设等比数列的公比为，
当，由，，不合题意，
当，由，得，
综上所述.
故答案为：1.
16、
【解析】以每相邻两天为一个基本事件，求出试验的基本事件数，再求出两天都不下雨的基本事件数，利用古典概率公式计算作答.
【详解】依题意，以每相邻两天为一个基本事件，如16号与17号、17号与18号为不同的两个基本事件，
则从4月16号至30号期间，共有14个基本事件，它们等可能，
其中相邻两天不下雨有16与17，19与20，20与21，21与22，22与23，26与27，27与28，28与29，共8个不同结果，
所以运动会期间不下雨的概率为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见详解（1）.
（2）16
【解析】（1）证线面垂直从而证线线垂直.
（2）把面体看成两个锥体，由已知线面垂直得高，并进一步可求锥体底面边长，从而得解.
【小问1详解】
因为，所以共面，连接、,

因为和均为等边三角形，D是的中点，
所以，，，
所以面平，平面，
【小问2详解】
因为，，
四边形是平行四边形，
和均为等边三角形，D是的中点，
所以，,
平行四边形是正方形形，，
.
18、（1）；中位数所在区间
（2）选90分以上的人去参赛；答案见解析
【解析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.
（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.
【小问1详解】
，解得
成绩在区间上的频率为，，
所以中位数所在区间，
【小问2详解】
选成绩最好的同学去参赛，
分数在之间共有人，
所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）
19、（1）（2）
【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积
【详解】（1）由已知得，，解得，又，
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，
由得，①
设、的坐标分别为，（），中点为，
则，，
因为是等腰△的底边，所以
所以的斜率为，解得，此时方程①为
解得，，所以，，所以，
此时，点到直线：距离，
所以△的面积
考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.
【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键
20、（1）（2）见解析
【解析】（1）由两式相减得，
所以（）
因为等比，且，所以，所以
故
（2）由题设得，所以，
所以，
则
，
所以
21、（1）证明见解析，直线与平面的距离为
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值
【小问1详解】
解：因为平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，
，，，，
所以，，，
所以，，，又因为，因此，平面.
所以，平面的一个法向量为，
，平面，平面，则平面，
所以，直线到平面的距离为.
【小问2详解】
解：若，则、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得数列的通项公式.
（2）令，分和去掉绝对值，根据等差数列的求和公式求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
∵，，
所以，
所以，
则.
【小问2详解】
令，解得，
当时，
，
，
当时，

.