2026届北京市海淀区北京师大附中高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2026届北京市海淀区北京师大附中高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得B等级的学生人数为（）
A.30 B.60
C.80 D.28
2．函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点是（ ）
A.（1，﹣1） B.（0，0）
C.（0，﹣1） D.（﹣1，0）
3．已知， ，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
4．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（）
A. B.
C. D.
5．化学上用溶液中氢离子物质的量浓度的常用对数值的相反数表示溶液的，例如氢离子物质的量浓度为的溶液，因为，所以该溶液的是1.0.现有分别为3和4的甲乙两份溶液，将甲溶液与乙溶液混合，假设混合后两份溶液不发生化学反应且体积变化忽略不计，则混合溶液的约为（　　）
（精确到0.1，参考数据：.）
A.3.2 B.3.3
C.3.4 D.3.8
6．圆：与圆：的位置关系是
A.相交 B.相离
C.外切 D.内切
7．下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在上单调递增是
A. B.
C. D.
8．平行于直线且与圆相切的直线的方程是
A.或 B.或
C.或 D.或
9．函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
10．函数与的图象交于两点，为坐标原点，则的面积为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为___
12．已知是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且，，则的值为___________.
13．某挂钟秒针的端点A到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点A与钟面上标12的点重合，A与两点距离地面的高度差与存在函数关系式，则解析式___________，其中，一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为___________.

14．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为___________.
15．计算：（）0+_____
16．当，，满足时，有恒成立，则实数的取值范围为____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角的终边落在直线上，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
18．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
19．已知函数，
（1）求的单调递增区间；
（2）令函数，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求在区间上的最大值及取得最大值时的值
条件①：； 条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
20．设，且.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值.
21．计算：
（1）；
（2）已知，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据分层抽样的概念即得
【详解】由题可知该样本中获得B等级的学生人数为
故选：C
2、D
【解析】由，可得当时，可求得函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）所过定点.
【详解】因为，
所以当时有，，
即当时，，
则当时，，
所以当时，恒有函数值.
所以函数y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒过的定点.
故选：D
【点睛】本题考查指数函数的图像性质，函数图像过定点，还可以由图像间的平移关系得到答案，属于基础题.
3、B
【解析】利用对数函数以及指数函数的性质判断即可.
【详解】∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，则
故选:.
4、D
【解析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，解得.
在上单调递减，且.
因为，所以，解得或.
故选：D
5、C
【解析】求出混合后溶液的浓度，再转化为pH
【详解】由题意pH为时，氢离子物质的量浓度为，
混合后溶液中氢离子物质的量浓度为，
pH为
故选：C
6、A
【解析】
求出两圆的圆心和半径,用圆心距与半径和、差作比较,得出结论.
【详解】圆的圆心为(1,0),半径为1,
圆的圆心为(0,2),半径为2,
故两圆圆心距为,两半径之和为3,两半径之差为1,
其中,故两圆相交,
故选:A.
【点睛】本题主要考查两圆的位置关系,需要学生熟悉两圆位置的五种情形及其判定方法,属于基础题.
7、C
【解析】是偶函数，是奇函数，和既不是奇函数也不是偶函数，在上是减函数，是增函数，故选C
8、A
【解析】设所求直线为，
由直线与圆相切得，
，
解得．所以直线方程为或．选A.
9、A
【解析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.
【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B，D，当时，，故排除C，得A为正确选项.
故选：A
10、A
【解析】令，解方程可求得，由此可求得两点坐标，得到关于点对称，由可求得结果.
【详解】令，，
解得：或（舍），
，或，则或，

不妨令，，则关于点对称，
.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】解不等式组即得解.
【详解】解：由题得且,
所以函数的定义域为.
故答案为：
12、
【解析】利用严格单调减函数定义求得值，然后在由区间上整数个数，可确定的值
【详解】，根据题意，，又，，
所以，即，，
在上只有13个整数，因此可得，
故答案为：
13、 ①. ②.
【解析】先求出经过，秒针转过的圆心角的为，进而表达出函数解析式，利用求出的解析式建立不等式，解出解集，得到答案.
【详解】经过，秒针转过的圆心角为，
得.
由，得，
又，故，
得，解得：，
故一圈内A与两点距离地面的高度差不低于的时长为.
故答案为：，
14、
【解析】利用复合函数的单调性，即可得到答案；
【详解】在定义域内始终单调递减，
原函数要单调递减时，，
，
，
故答案为：
15、
【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.
【详解】依题意，原式.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
16、
【解析】根据基本不等式求得的最小值，由此建立不等式，求解即可.
【详解】解：，，则，
∴
，
当且仅当，即：时取等号，
∴，∴，∴
实数的取值范围为
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）易角是第三象限的角，从而确定的符号，再由同角三角函数的关系式求得，然后利用二倍角公式得解；
（2）可得，再求得的值，根据，由两角差的余弦公式，展开运算即可
【小问1详解】
解：（1）由题意知，角是第三象限的角，
，，

∴.
【小问2详解】
（2）由（1）知，，
，，
，，
，

18、（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【解析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；
（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.
【详解】（1）由题意得：，，
∴当时，，即，解得，
∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意得，，整理得：，即，
两边同时取常用对数，得：，整理得：，
将代入，得，又，
∴，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
19、（1），
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）根据正弦函数的单调增区间建立不等式求解即可得出；
（2）选①代入，化简，令，转化为二次函数求值域即可，选择条件②代入化简，令，根据正弦函数的图象与性质求最值即可求解.
【小问1详解】
函数的单调增区间为（）
由，，
解得，，
所以的单调增区间为，
【小问2详解】
选择条件①：

令，
因为，
所以
所以
所以，
因为在区间上单调递增，
所以当时，取得最大值
所以当时，取得最大值
选择条件②：

令，
因为，
所以
所以当时，即时，取得最大值
20、（1）；（2）2
【解析】（1）直接由求得的值；
（2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域
【详解】解：(1)∵，
∴，
∴；
(2)由得，
∴函数的定义域为，
，
∴当时，是增函数；当时，是减函数，
∴函数在上的最大值是
【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据对数的运算法则和对数恒等式，即可求解；
（2）根据同角三角函数关系，由已知可得，代入所求式子，即可求解.
【详解】（1）原式；
（2）∵
∴
∴.