福建省宁德市部分一级达标中学2025-2026学年高一上数学期末考试试题含解析.doc

福建省宁德市部分一级达标中学2025-2026学年高一上数学期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中哪个是幂函数（ ）
A. B.
C. D.
2．命题“”的否定是：（）
A. B.
C. D.
3．设，，，则有（）
A. B.
C. D.
4．函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
5．命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7．设命题，使得，则命题为的否定为（ ）
A.， B.，使得
C.， D.，使得
8．若集合，则
A. B.
C. D.
9．一个扇形的弧长与面积都是5，则这个扇形圆心角的弧度数为
A. B.
C. D.
10．以，为基底表示为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则的最大值为_______
12．函数的定义域是__________
13．幂函数的图象经过点，则=____.
14．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是B，点和点的中点是E，则___________.
15．直线,当变动时,所有直线都通过定点______.
16．函数的最大值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设全集为，或，.
（1）求，；
（2）求.
18．已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A
19．已知函数（a为实常数）
（1）若，设在区间的最小值为，求的表达式：
（2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围
20．已知集合，，，全集为实数集
（）求和
（）若，求实数的范围
21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】直接利用幂函数的定义判断即可
【详解】解：幂函数是，，
显然，是幂函数.，，都不满足幂函数的定义，
所以A正确
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数的概念，属基础题.
2、A
【解析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.
故选：A.
3、C
【解析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，
，，
因为函数在上是增函数，，
所以
由三角函数线知：，，因为，
所以，所以

故选：C.
4、C
【解析】由解出范围即可.
【详解】由，可得，所以函数的单调递增区间为，
故选C.
5、B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，将并否定原结论，写出命题的否定即可.
【详解】由原命题为特称命题，故其否定为“”.
故选：B
6、D
【解析】对A，C利用特殊值即可判断；对B，由对数函数的定义域即可判断，对D，由指数函数的单调性即可判断.
【详解】解：对A，令，，
则满足，但，故A错误；
对B，若使，
则需满足，但题中，故B错误；
对C，同样令，，
则满足，但，故C错误；
对D，在上单调递增，
当时，，故D正确.
故选：D.
7、C
【解析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.
【详解】依题意，命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题的否定是：，.
故选：C
8、D
【解析】详解】集合，
所以.
故选D.
9、D
【解析】，又，故选D
考点：扇形弧长公式
10、B
【解析】设，利用向量相等可构造方程组，解方程组求得结果.
【详解】设
则

本题正确选项：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够通过向量相等构造出方程组，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】消元，转化为求二次函数在闭区间上的最值
【详解】
，
，

时，取到最大值，
故答案为：
12、
【解析】要使函数有意义，则,解得, 函数的定义域是,故答案为.
13、2
【解析】根据幂函数过点，求出解析式，再有解析式求值即可.
【详解】设，
则，
所以，
故，
所以.
故答案为：
14、
【解析】先利用对称性求得点B坐标，再利用中点坐标公式求得点E坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】因为点关于平面的对称点是，
点和点的中点是，
所以，
故答案为：
15、 (3,1)
【解析】
将直线方程变形为,得到,解出,即可得到定点坐标.
【详解】由,得,
对于任意,式子恒成立,则有,
解出,
故答案为:(3,1).
【点睛】本题考查直线过定点问题,直线一定过两直线、的交点.
16、
【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
【详解】由，则开口向上且对称轴为，又，
∴，，故函数最大值为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或，
（2）或
【解析】（1）根据集合的交集和并集的定义即可求解；
（2）先根据补集的定义求出，然后再由交集的定义即可求解.
【小问1详解】
解：因为或，，
所以或，；
【小问2详解】
解：因为全集为，或，，
所以或，
所以或.
18、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）由3=22-12即可证得；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，分当m，n同奇或同偶时和当m，n一奇，一偶时两种情况进行否定即可.
试题解析：
（1）∵3=22-12，3∈A；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m2-n2=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾
综上4k-2不属于A
19、（1）；（2）
【解析】（1）用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于不确定，要根据对称轴分类讨论
（2）首先用单调性定义证明单调性，可将“函数在区间上是增函数”转化为恒成立问题求即可
【详解】（1）由于，当时，
①若，即，则在为增函数，；
②若，即时，；
③若，即时，在上是减函数，；
综上可得；
（2）在区间上任取，

　　　　　　（*）
在上是增函数

∴（*）可转化为对任意且都成立，即
①当时，上式显然成立
②，由得，解得；
③，由得，，得，
所以实数的取值范围是
【点睛】本题考查二次函数在区间上的最值问题，注意要对对称轴和区间的位置进行讨论，考查单调性的应用，这类问题要转化为恒成立问题，实质还是研究最值，这里就会涉及到构造新函数的问题，本题是一道难度较大的题目
20、 (1)，.(2)
【解析】(1)由题意可得：，，，则，.
(2)由题意结合集合C可得
试题解析：
（），，，
所以，
则.
（），所以
21、（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.
【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.
（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.
【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为
3-6+×70+2=43.5(万元).
（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120-x)万元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，
依题意得解得40≤x≤80.
故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).
令t=，则t∈[2，4]，
所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.
当t=6，即x=72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题.