2025-2026学年河南省淅川县第一高级中学数学高一第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025-2026学年河南省淅川县第一高级中学数学高一第一学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．与终边相同的角的集合是
A. B.
C. D.
3．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，，下列等式中成立的是（　　）

A. B.
C. D.
5．若，则化简=（）
A. B.
C. D.
6．已知函数f（x）=loga（x+1）（其中a＞1），则f（x）＜0的解集为（　　）
A. B.
C. D.
7．设集合，则中元素的个数为（ ）
A.0 B.2
C.3 D.4
8．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点
①向左平移个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍；
②向左平移个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍；
③各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位:
④各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
其中命题正确的为（）
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
9．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.7
B.9
C.11
D.13
10．已知角x的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角x的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形的弧长为，半径为1，则扇形的面积为___________.
12．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为和，其中为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆汽车，则该公司能获得的最大利润为_____万元.
13．已知函数是定义在上的奇函数，且，则________，________.
14．已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________
15．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.
16．每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.若的部分图象如图所示，则的解析式为________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知对数函数.
（1）若函数，讨论函数的单调性；
（2）对于（1）中的函数，若，不等式的解集非空，求实数的取值范围.
18．设函数.
（1）求的单调增区间；
（2）求在上的最大值与最小值.
19．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.

（Ⅰ）试用、表示和；
（Ⅱ）若，求的最小值.
20．设不等式的解集为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.
（1）若，求；
（2）命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
21．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的
（1）求丙答题正确的概率；
（2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.
【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，
当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，
故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件.
故选：A.
2、D
【解析】根据终边相同的角定义的写法，直接写出与角α终边相同的角，得到结果
【详解】根据角的终边相同的定义的写法，若α＝，则与角α终边相同的角可以表示为k•360°（k∈Z），即（k∈Z）
故选D
【点睛】本题考查与角α的终边相同的角的集合的表示方法，属于基础题.
3、C
【解析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项
【详解】因为不等式的解集为，
故，故，故，
令，解得或，
故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，
故选：C
4、B
【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的进行化简，化简为然后化简并代入即可得出答案
【详解】因为，
所以，
所以，即，故选B
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题
5、D
【解析】根据诱导公式化简即可得答案.
【详解】解：
.
故选：D
6、D
【解析】因为已知a的取值范围，直接根据根据对数函数的单调性和定点解出不等式即可
【详解】因为，
所以在单调递增，
所以
所以，解得
故选D
【点睛】在比较大小或解不等式时，灵活运用函数的单调性以及常数和对指数之间的转化
7、B
【解析】先求出集合,再求,最后数出中元素的个数即可.
【详解】因集合,,
所以,
所以,
则中元素的个数为2个.
故选：B
8、B
【解析】利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
所以，为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点向左平移个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍，
或将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位.
故①④满足条件，
故选：B.
9、B
【解析】该几何体是一个圆上面挖掉一个半球，S=2π×3+π×12+=9π.
10、B
【解析】先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值
【详解】因为，，所以角的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知
，故角的最小正值为
故选：B
【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】利用扇形面积公式进行计算.
【详解】即，，由扇形面积公式得：.
故答案为：
12、
【解析】设该公司在甲地销x辆，那么乙地销15－x辆，利润L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且当x＜10.2时，L′(x)＞0，x＞10.2时，L′(x)＜0，∴x＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元
答案：45.6万元
13、 ①.1 ②.0
【解析】根据函数的周期性和奇偶性，结合已知条件，代值计算即可.
【详解】因为满足，且，且其为奇函数，
故；
又，故可得，
又函数是定义在上的奇函数，故，又，
故.
故答案为：1；0.
14、
【解析】圆，圆心为(0,0)，半径为1；
圆，圆心为(4,0)，半径为5.
圆心距为4=5-1，故两圆内切.
切点为(-1,0)，圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为，即.
故答案.
15、
【解析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.
【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.
故答案为：
16、
【解析】
结合正弦函数的性质确定参数值．
【详解】由图可知，最小正周期，
所以，
所以.
故答案为：．
【点睛】本题考查由三角函数图象确定其解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；(2).
【解析】（1）由对数函数的定义，得到的值，进而得到函数的解析式，再根据复合函数的单调性，即可求解函数的单调性.
（2）不等式的解集非空，得，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由题中可知：，解得：，
所以函数的解析式，
∵，
∴，
∴，
即的定义域为，
由于，
令则：由对称轴可知，
在单调递增，在单调递减；
又因为在单调递增，
故单调递增区间，单调递减区间为.
（2）不等式的解集非空，
所以，
由（1）知，当时，函数单调递增区间，单调递减区间为，
又，
所以，
所以，，
所以实数的取值范围.
18、（1）
（2）最大值为2，最小值为
【解析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据正弦型函数的单调性计算即可得出结果.
（2）由得，利用正弦函数的图像和性质计算即可得出结果.
【小问1详解】

令，得，
所以的单调增区间为
【小问2详解】
由得，
所以当，即时，取最大值2；
当，即时，取最小值.
19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；
（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，

由于为等腰梯形，则，且，
，即，又，所以，四边形为平行四边形，
则，所以，为等边三角形，且，
，，
，
；
（Ⅱ），，，
由题意可知，，由得出，
所以，，
，
令，则函数在区间上单调递减，
所以，，因此，的最小值为.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
20、（1）（2）
【解析】（1）求解A,B，根据交集、补集运算即可；
（2）由题意转化为Ü,建立不等式求解即可.
【详解】（1），
，
解得，
所以,
当时，由可得，
解得，
所以，，
所以
（2）由解得，
即，
因为命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，
所以Ü，
所以，且等号不同时成立，解得，
即实数m的取值范围为
【点睛】关键点点睛：根据充分条件、必要条件的意义，转化为集合间的包含、真包含关系，是解题的关键，属于中档题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解；
（2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解.
【小问1详解】
记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，
设丙答对题的概率，乙答对题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.
根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，
所以丙对这道题的概率为
【小问2详解】
甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为