上海市嘉定区封浜高级中学2025年数学高二上期末达标测试试题含解析.doc

上海市嘉定区封浜高级中学2025年数学高二上期末达标测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，，，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B.
C. D.
2．抛物线的焦点到准线的距离（ ）
A.4 B.
C.2 D.
3．已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
A.4 B.2
C.1 D.
4．设集合，集合，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为
A.或 B.或
C.或 D.或
6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为()
A.或 B.或
C.或 D.或
7．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
8．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）

A.，1， B.，1，
C.，， D.，1，
9．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
10．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释

A.如果，，那么
B.如果，那么
C.对任意实数和，有，当且仅当 时等号成立
D.如果，那么
11．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
12．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图直线过点，且与直线和分别相交于，两点.

（1）求过与交点，且与直线垂直的直线方程；
（2）若线段恰被点平分，求直线的方程.
14．已知数列 {an}满足，则 __________
15．已知正三角形边长为a，则该三角形内任一点到三边的距离之和为定值.类比上述结论，在棱长为a的正四面体内，任一点到其四个面的距离之和为定值_____.
16．设函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（2）试估计测评成绩的75%分位数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例
18．（12分）已知函数
（1）填写函数的相关性质；

定义域
值域
零点
极值点
单调性
性质

（2）通过（1）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数
19．（12分）如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，底面为菱形，且平面平面，，为上一点，满足.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知等差数列满足，
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值
21．（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿AE将折起，使得点D到达F位置.

（1）当时，求证：平面AFC；
（2）当时，求二面角的余弦值.
22．（10分）已知数列，若_________________
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解
①；
②，，；
③，点，在斜率是2的直线上
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用特殊值法可判断ACD的正误，根据不等式的性质，可判断B的正误.
【详解】对于A中，令，，，，满足，，但，
故A错误；
对于B中，因为，所以由不等式的可加性，可得，
所以，故B正确；
对于C中，令，，，，满足，，但，
故C错误；
对于D中，令，，，，满足，，但，
故D错误
故选：B
2、A
【解析】写出抛物线的标准方程，即可确定焦点到准线的距离.
【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则，
∴焦点到准线的距离为4.
故选：A.
3、D
【解析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出
【详解】设等比数列的公比为（），
由题意得，且，即，
，
因为，所以，，
故选：D
4、A
【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系
【详解】，解得，故
，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件
故选：A
5、B
【解析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.
【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；
若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.
综上所述，双曲线的离心率为或.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】点关于轴的对称点为，由反射光线的性质，可设反射光线所在直线的方程为：，再利用直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，由此即可求出结果
【详解】点关于轴的对称点为，
设反射光线所在直线的方程为：，化为
因为反射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
可得，所以或
故选：C
7、C
【解析】由空间向量共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算.
【详解】因为，由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，所以的最小值为点到平面的距离，由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，则，，由等体积法得，，所以，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】共面定理的应用：设是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组使得，说明：若，则四点共面.
8、A
【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.
【详解】在单位正方体中，
以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，0，，
设平面的法向量是，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量是，1，.
故选：.

9、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
10、C
【解析】设图中直角三角形边长分别为a，b，则斜边为，则可表示出阴影面积和正方形面积，根据图象关系，可得即可得答案.
【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a，b，则斜边为，如图所示：

则四个直角三角形的面积为，正方形的面积为，
由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，
所以，当且仅当时等号成立，
所以对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.
故选：C
11、C
【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.
【详解】对任意，都有成立，即
令，则，
所以函数在上单调递增
不等式即，即
因为，所以
所以，，解得，
所以不等式的解集为
故选：C.
12、B
【解析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.
【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减
得：，即.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1）；（2）.
【解析】本题考查直线方程的基本求法：垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法
【详解】（1）由题可得交点，
所以所求直线方程为，即；
（2）设直线与直线相交于点，
因为线段恰被点平分，
所以直线与直线的交点的坐标为
将点，的坐标分别代入，的方程，
得方程组
解得
由点和点及两点式，得直线的方程为，
即
【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主．点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于直线的对称，是重点考察内容
14、2019
【解析】将已知化为代入可以左右相消化简，将已知化为，代入可以上下相消化简，再全部代入求解即可.
【详解】由知

故
所以

故答案为：2019
15、
【解析】利用正四面体内任一点可将正四面体分成四个小四面体，令它们的高分别为，由体积相等即可求得；
【详解】正三角形边长为a，则该三角形内任一点到三边的距离分别为，即有：
，解得
同理，棱长为a的正四面体内，任一点到其四个面的距离分别为，即有：
，解得
故答案为：
【点睛】本题考查了利用空间几何体的等体积法求高的和为定值，属于简单题；
16、
【解析】首先求得函数在区间上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数的取值范围.
【详解】∵在上恒成立，
∴当时，取最大值1，
∵对任意的，都有成立，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，，
∵在上恒成立，∴在上为减函数，
∵当时，，故当时，取最大值1，
故，
故答案为
【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）20人（2）
（3）
【解析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；
（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；
（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例
【小问1详解】
由频率分布直方图知，分数在[50，90）频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人
【小问2详解】
测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为
【小问3详解】
由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为
18、（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】（1）利用导数判断函数的性质；
（2）由函数性质绘制函数的图象，并将方程转化为，即转化为与的交点个数.
【小问1详解】
函数的定义域是，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，，
当时，，当时，，
函数的值域是，
，得，所以函数的零点是，

定义域
值域
零点
极值点
单调性
性质

单调递增区间，单调递减区间
【小问2详解】函数的图象如图，

，即，方程解的个数，即与的交点个数，
当时，无交点，即方程无实数根；
当或时，有一个交点，即方程有一个实数根；
当时，有两个交点，即方程有两个实数根.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）设为中点，连接，根据，证明平面得到答案.
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）设为中点，连接，，∵，∴，
又∵底面四边形为菱形，，∴为等边三角形，
∴，
又∴，，平面，∴平面，
而平面，∴.

（2）∵平面平面，平面平面，，
∴平面
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由，，，即，
∴，，，
设为平面的法向量，则由，
令，得，，∴，
设为平面的法向量，则由，
令，得，，∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的的余弦值为.

【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键.
20、（1）
（2）10
【解析】(1)设等差数列公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组即可求解；
(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和q，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式即可.
【小问1详解】
由题意得，解得，
∴
【小问2详解】
∵，，
又，∴，公比，∴，
令，得，
令，所以n的最大值为10
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得结论成立.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的大小.
【小问1详解】
设，
由于四边形是等腰梯形，是的中点，，
所以，所以四边形是平行四边形，
由于，所以四边形是菱形，
所以，
由于，是的中点，
所以，
由于，
所以平面.
【小问2详解】
由于，
所以三角形、三角形、三角形是等边三角形，
设是的中点，设，
则，
所以，所以，
由于两两垂直.
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
,
平面的法向量为，
设平面法向量为，
则，故可设，
由图可知，二面角为钝角，设二面角为，
，则.

22、答案见解析.
【解析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；
若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；
若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；
（2）利用裂项相消求和即可
【详解】解：（1）若选①，由，
所以当，，
两式相减可得：，
而在中，令可得：，符合上式，
故
若选②，由（，）可得：数列为等差数列，
又因为，，所以，即，
所以
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，
即，
所以数列为等差数列且
（2）由（1）知：，
所以