2025年广东省江门市第一中学高一数学第一学期期末监测试题含解析.doc

2025年广东省江门市第一中学高一数学第一学期期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知，，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
3．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（）（参考数据：）
A.6天 B.7天
C.8天 D.9天
4．已知函数，则在上的最大值与最小值之和为（ ）
A. B.
C. D.
5．把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则（ ）
A. B.
C. D.
6．计算cos(－780°)的值是 (　　)
A.－ B.－
C. D.
7．下列命题中正确的个数是（）
①两条直线，没有公共点，那么，是异面直线
②若直线上有无数个点不在平面内，则
③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
④若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
A. B.
C. D.
8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
9．形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数 (且)有最小值,则当时的“囧函数”与函数的图象交点个数为
A. B.
C. D.
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为（　　）

A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若，，则的取值范围是________
12．化简： =____________
13．已知集合，，则_________.
14．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且）：
③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；
④函数不“T—单调增函数”
其中，所有正确的结论序号是______
15．已知函数，若时，恒成立，则实数k的取值范围是_____.
16．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则该扇形的弧长为_____cm
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆，直线.
（1）若直线与圆交于不同的两点,当时，求的值.
（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点；
（3）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.
18．设函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）求的单调递增区间.
19．已知函数为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最小值，并求取最小值时x的值.
20．已知 是方程的两根，且.求：及的值.
21．设集合，，
（1），求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据函数的图像关于点中心对称，由求出的表达式即可.
【详解】因为函数的图像关于点中心对称，
所以，
所以，
解得，
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2、C
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.
【详解】由为单调递减函数，则，
为单调递减函数，则，
为单调递增函数，则
故.
故选：C
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.
3、B
【解析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果
【详解】因为，，，所以可以得到
，由题意可知，
所以至少需要7天，累计感染病例数增加至的4倍
故选：B
4、D
【解析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为，当时，，由正弦型函数的单调性即可求出最值.
【详解】
当时，，

所以最大值与最小值之和为：.
故选：D
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，正弦型函数的单调性与最值，属于基础题.
5、C
【解析】根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可得解.
【详解】解：把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，
可得的函数图像，
再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，
所以.
故选：C.
6、C
【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可
【详解】cos（-780°）=cos780°=cos60°=
故选C
【点睛】本题考查余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力
7、C
【解析】①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
【详解】①两条直线，没有公共点，那么，平行或异面直线，故错误；
②若直线上有无数个点不在平面内，则或相交，故错误；
③由空间角定理知，正确；
④由直线与平面平行的定义知，正确；
故选：C
8、C
【解析】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
9、C
【解析】当时，，而有最小值，故.令，，其图像如图所示：

共4个不同的交点，选C.
点睛：考虑函数图像的交点的个数，关键在于函数图像的正确刻画，注意利用函数的奇偶性来简化图像的刻画过程.
10、B
【解析】由三视图知，该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组合而成，圆锥的底面圆半径为1，高为1，圆柱的母线长为2，底面圆半径为1，所以几何体的体积为，选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可.
【详解】先作函数图象如下：

由图可知，若，，设，则，，
由知，；由知，；
故，，
故时，最小值为，时，最大值为，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点.
12、
【解析】利用三角函数的平方关系式，化简求解即可
【详解】===
又，所以，所以=，
故填：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力
13、
【解析】由对数函数单调性，求出集合A，再根据交集的定义即可求解.
【详解】解：，，
，
故答案为：.
14、②③④
【解析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.
【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；
②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；
③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；
④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.
故答案为：②③④
15、
【解析】当时，，
当时，，
又，
如图所示：

当时，在处取得最大值，且，
令，则数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴，∴，
若时，恒成立，只需，当上，均有恒成立，
结合图形知：，∴，∴，
令，，
当时，，∴，∴，
当时，，，∴，
∴最大，∴，∴.
考点：1.函数图像；2.恒成立问题；3.数列的最值.
16、
【解析】利用扇形的弧长公式求弧长即可.
【详解】由弧长公式知：该扇形的弧长为(cm).
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）直线过定点；（3）
【解析】（1）利用点到直线的距离公式，结合点到的距离，可求的值；
（2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，、在圆上可得直线，的方程，即可求得直线是否过定点；
（3）设圆心到直线、的距离分别为，．则，表示出四边形的面积，利用基本不等式，可求四边形的面积最大值
【详解】解：（1），点到的距离
，

（2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，
设，其方程为：，
即，
又、在圆上
，
即
由，得，
直线过定点）
（3）设圆心到直线、的距离分别为，
则
，

当且仅当即时，取“”
四边形的面积的最大值为
18、（1）最小正周期，最大值为；（2）.
【解析】把化简为，
（1）直接写出最小正周期和最大值；
（2）利用正弦函数的单调性直接求出单调递增区间.
【详解】

（1）的最小正周期;最大值为；
（2）要求的单调递增区间，只需，
解得：，
即的单调递增区间为.
19、（1）
（2）在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.
【解析】（1）根据函数为R上的奇函数，由求解；
（2）由（1）得到，令，转化为二次函数求解.
【小问1详解】
解：因为函数为R上的奇函数，
所以，
解得，
所以，经检验满足题意；
【小问2详解】
由（1）知：，
，
另，因为t在上递增，则，
函数转化为，
当时，取得最小值-4，
此时，即，
解得，则，
所以在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.
20、1，.
【解析】由韦达定理结合两角和差的正切公式可得.结合所给的角的范围可知则.
试题解析：
为方程的两根，
，
.
.
点睛：三角函数式的化简、求值问题的常用技巧：
①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等
常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化
21、（1）
（2）或
【解析】（1）先求集合B的补集，再与集合A取交集；
（2）把“”是“”的充分条件转化为集合A与B之间的关系再求解的取值范围
【小问1详解】
时，，
又
故
【小问2详解】
由题意知：“”是“”的充分条件，即
当时，，，满足题意；
当时，，欲满足
则必须解之得
综上得的取值范围为或