重庆市西南大学附属中学2025年数学高一上期末经典试题含解析.doc

重庆市西南大学附属中学2025年数学高一上期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数则（）
A.－ B.2
C.4 D.11
2．已知，，，则　　
A. B.
C. D.
3．为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点
A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B.横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D.横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
4．下列函数为奇函数的是
A. B.
C. D.
5．已知，若，则m的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.4
6．方程的解为，若，则
A. B.
C. D.
7．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
B.y=sin2xcos2x
C.y=cos（4x+）
D.y=sin22x﹣cos22x
8．函数的零点个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
9．已知函数，则
A.最大值为2，且图象关于点对称
B.周期为，且图象关于点对称
C.最大值为2，且图象关于对称
D.周期为，且图象关于点对称
10．已知，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是______
12．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________
13．函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值为__________
14．已知幂函数是奇函数，则___________.
15．若点位于第三象限，那么角终边落在第___象限
16．已知函数，则无论取何值，图象恒过的定点坐标______；若在上单调递减，则实数的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，在直三棱柱中，，，，，点是中点
（）求证：平面
（）求直线与平面所成角的正切值

18．已知函数
（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（2）对任意时，都成立，求实数的取值范围
19．已知函数
（1）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域
20．已知函数的最小正周期为
（1）求当为偶函数时的值；
（2）若的图象过点，求的单调递增区间
21．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据分段函数的分段条件，先求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由题意，函数，可得，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的分段条件，代入准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
2、D
【解析】容易看出，，从而可得出a，b，c的大小关系．
【详解】，，；
．
故选D．
【点睛】考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
3、B
【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短 倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；
再向上平行移动个单位长度，可得函数的图象，
故选B
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题
4、D
【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D
考点：函数的奇偶性
5、B
【解析】依题意可得，列方程解出
【详解】解：，，
故选：
6、C
【解析】令，
∵,.
∴函数在区间上有零点
∴．选C
7、D
【解析】A中，周期为,不是偶函数；
B中，周期为，函数为奇函数；
C中，周期为，函数为奇函数；
D中，周期为，函数为偶函数
8、C
【解析】令，得到，画出和的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数零点个数.
【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点.
故选C.

【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
9、A
【解析】

，∵，∴，则的最大值为；∵，∴周期；当时，图象关于某一点对称，∴当，求出，即图象关于对称，故选A
考点：三角函数的性质．
10、A
【解析】利用利用等中间值区分各个数值的大小
【详解】；
；

故
故选A
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】观察函数的解析式，推断函数的性质，借助函数性质解不等式
【详解】令 ，则，得，即函数的图像关于中心对称，且单调递增，不等式可化为，即，得，解集为
【点睛】利用函数解决不等式问题，关键是根据不等式构造适当的函数，通过研究函数的单调性等性质解决问题
12、
【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.
【详解】∵，
由，得，
当时，，则，解得此时，
当时，，则，解得此时，不合题意，
当取其它整数时，不合题意，
∴.
故答案：.
13、
【解析】由题意知，先明确值，该函数平移后为奇函数，根据奇函数性质得图象过原点，由此即可求得值
【详解】∵函数的最小正周期为，
∴，即，
将的图象向左平移个单位长度，
所得函数为，
又所得图象关于原点对称，
∴，
即，又，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查奇偶函数的性质，要熟练掌握图象变换的方法
14、1
【解析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】由题意得，∴或1，
当时，是偶函数；
当时，是奇函数.
故答案为：1.
15、四
【解析】根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值小于0，余弦值大于0，得到角是第四象限的角
【详解】解：∵点位于第三象限，
∴sinθcosθ＜0
2sinθ＜0，
∴sinθ＜0，
Cosθ＞0
∴θ是第四象限的角
故答案为四
【点睛】本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围
16、 ①. ②.
【解析】计算的值，可得出定点坐标；分析可知，对任意的，，利用参变量分离法可求得，分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.
【详解】因为，故函数图象恒过的定点坐标为；
由题意可知，对任意的，，则，
因为函数在上单调递增，且当时，，
所以，.
当时，在上为减函数，函数为增函数，
所以，函数、在上均为减函数，
此时，函数在上为减函数，合乎题意；
当且时，，不合乎题意；
当时，在上为增函数，函数为增函数，
函数、在上均为增函数，
此时，函数在上为增函数，不合乎题意.
综上所述，若在上单调递减，.
故答案为：；.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）.
【解析】（1）设BC1与CB1交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC1，利用线面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1
（2）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，于是∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角．利用勾股定理求出DE，B1E，计算tan∠DB1E
【详解】（1）证明：设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点
在△ABC1中，连接OD，∵D，O分别为AB，BC1的中点，
∴OD为△ABC1的中位线，
∴OD∥AC1，
又AC1⊄平面CDB1，OD⊂平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1
（2）过D作DE⊥BC，连结B1E，则DE⊥平面BCC1B1，
∴∠DB1E为直线DB1与平面BCC1B1所成的角
∵D是AB的中点，∴DE，BE，∴B1E
∴tan∠DB1E

【点晴】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题
18、（1）在上单调递减，证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可.
（2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围
【详解】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，

∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减；
（2）由（2）可知在上单调减函数，
∴当时，取得最小值，即，
对任意时，都成立，只需成立，
∴，解得：
19、（1）最小正周期为；单调递增区间为；（2）
【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，由解析式可确定最小正周期；令，解不等式可求得单调递增区间；
（2）利用可求得的范围，对应正弦函数可确定的范围，进而得到所求值域.
【详解】（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的单调递增区间为；
（2）当时，，，
，即在上的值域为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由为偶函数，求出的值，结合的范围，即可求解；
（2）由函数的周期求出值，将点代入解析式，结合的范围，求出，根据正弦函数的单调递增区间，整体代换，即可求出结论.
【详解】（1）当为偶函数时，，
；
（2）函数的最小正周期为，
，当时，，
将点代入得，，
，
单调递增需满足，
，
，
所以单调递增是；
当时，，
将点代入得，，
的值不存在，
综上，的单调递增区间.
【点睛】本题考查函数的性质，利用三角函数值求角，要注意角的范围，考查计算求解能力，不要忽略的正负分类讨论，是本题的易错点，属于中档题.
21、（1）
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；
（2）先证明，
再由不等式证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，

，
，

解得，当且仅当时，等号成立，
即.
【小问2详解】
在中，，

, ,
.
【小问3详解】
由（2）知

，
令，
原不等式等价为，
在上为增函数，
，
，
同理可得，
，，
，
故不等式成立，
问题得证.
【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.