2025年上海市12校高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025年上海市12校高一数学第一学期期末调研模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）
A. B.
C. D.
2．已知，则的值为（ ）
A.3 B.6
C.9 D.
3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A.1010.1 B.10.1
C.lg10.1 D.
4．直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
5．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的带宽（），S是平均信号功率（），是平均噪声功率（）．已知平均信号功率为，平均噪声功率为，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（）
A. B.
C. D.
6．已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（）
A.①③ B.②③
C.①② D.①②③
7．（）
A. B.
C. D.1
8．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心是（ ）
A. B.
C. D.
9．函数，设，则有
A. B.
C. D.
10．不论为何实数，直线恒过定点（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形OAB的面积为，半径为3，则圆心角为_____
12．直线与直线的距离是__________
13．已知函数
①当a=1时，函数的值域是___________；
②若函数的图像与直线y=1只有一个公共点，则实数a的取值范围是___________
14．已知幂函数的图象过点，则___________.
15．函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则______
16．已知，是方程的两根，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）当时，求函数最大值和最小值.
18．直线过定点，交、正半轴于、两点，其中为坐标原点.
（Ⅰ）当的倾斜角为时，斜边的中点为，求；
（Ⅱ）记直线在、轴上的截距分别为，其中，求的最小值.
19．已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求
20．已知函数
（1）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域
21．已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）求的最小值；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.
【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为；
向左平移个单位得，
由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：，k∈Z，
k＝1时，.
故选：D.
2、A
【解析】直接由对数与指数的互化公式求解即可
【详解】解：由，得，
故选：A
3、A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.
4、B
【解析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ
由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，
∴tanθ=，
∵θ∈[0，π），∴θ=60°
故选B
5、A
【解析】利用题设条件，计算出原信道容量的表达式，再列出在B不变时用所求平均噪声功率表示的信道容量的表达式，最后列式求解即得.
【详解】由题意可得，，则在信道容量未增大时，信道容量为，信道容量增大到原来2倍时，，则，即，解得，
故选：A
6、C
【解析】解出不等式，得到集合，然后逐一判断即可.
【详解】由可得
所以，故①错；，②错；，③对，
故选：C
7、B
【解析】先利用诱导公式把化成，就把原式化成了两角和余弦公式，解之即可.
【详解】由可知

，
故选：B
8、D
【解析】先由函数平移得解析式，再令，结合选项即可得解.
【详解】将函数图象向左平移个单位，
可得.
令，解得.
当时，有对称中心.
故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的图像平移及正弦型三角函数的对称中心的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题.
9、D
【解析】>1，<0，0<<1，∴b<c<1，
又在x∈（-∞，1）上是减函数，∴f(c)<f(b)<0，而f(a)>0，∴f(c)<f(b)<f(a) .
点睛：在比较幂和对数值的大小时，一般化为同底数的幂（利用指数函数性质）或同底数对数（利用对数函数性质），有时也可能化为同指数的幂（利用幂函数性质）比较大小，在不能这样转化时，可借助于中间值比较，如0或1等．把它们与中间值比较后可得出它们的大小
10、C
【解析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.
【详解】根据题意,将直线方程变形为
因为位任意实数,则,解得
所以直线过的定点坐标为
故选:C
【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】直接利用扇形的面积公式得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于简单题.
12、
【解析】
13、 ①.（－∞，1] ②.（－1，1]
【解析】①分段求值域，再求并集可得的值域；
②转化为＝在上与直线只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围
【详解】①当a＝1时，即当x≤1时，，
当x＞1时，，
综上所述当a＝1时，函数的值域是，
②由无解，
故＝在上与直线只有一个公共点，
则有一个零点，即实数的取值范围是.
故答案为：；.
14、
【解析】由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点 代入可求的值，即可求解.
【详解】因为是幂函数，
所以，，又的图象过点，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
15、1
【解析】根据给定条件利用周期性、奇偶性计算作答.
【详解】因函数是上周期为2的奇函数，，
所以.
故答案为：1
【点睛】易错点睛：函数f(x)是周期为T周期函数，T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期.
16、##
【解析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.
【详解】解：因为，是方程的两根，
所以，
所以，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调递增区间为；（2），.
【解析】（1）利用和差公式和倍角公式把化为，然后可解出答案；
（2）求出的范围，然后由正弦函数的知识可得答案.
【详解】（1）

由可得
单调递增区间为
（2），
即时，
即时，
18、 (Ⅰ)；(Ⅱ)9.
【解析】(Ⅰ)首先求得直线方程与坐标轴的交点，然后求解的值即可；
(Ⅱ)由题意结合截距式方程和均值不等式的结论求解的最小值即可.
【详解】（Ⅰ），令令，
.
（Ⅱ）设，则，
，
当时，的最小值.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误
19、（1）
（2）
【解析】（1）化简求得集合，根据补集的概念运算可得结果；
（2）由，根据，求出，再求出，计算可求出结果.
【小问1详解】
由题意得：当时，

所以
【小问2详解】
由题意知：
又
所以方程的一个根为4，
解得，所以，符合题设条件，
故
20、（1）最小正周期为；单调递增区间为；（2）
【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，由解析式可确定最小正周期；令，解不等式可求得单调递增区间；
（2）利用可求得的范围，对应正弦函数可确定的范围，进而得到所求值域.
【详解】（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的单调递增区间为；
（2）当时，，，
，即在上的值域为.
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值；
（2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果；
（3）先证明函数单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可.
【小问1详解】
因为为偶函数，
所以，所以，
所以，
所以.
【小问2详解】

因为，
所以（当且仅当时等号成立），
所以最小值为.
【小问3详解】
，
任取且，
所以，
因为且，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以在上为增函数，
又因为为偶函数，所以，
当时，，
当时，，所以，
设
（当且仅当时，等号成立），
因为，所以等号能成立，
所以，
所以，
所以，
综上，.