贵州省遵义市汇川区航天高级中学2025年数学高一第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

贵州省遵义市汇川区航天高级中学2025年数学高一第一学期期末经典模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知直线的斜率为1，则直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
3．下列函数在其定义域内是增函数的是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．命题关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
6．已知，若，则m的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.4
7．已知全集，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
8．设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．下面四种说法：
①若直线异面，异面，则异面；
②若直线相交，相交，则相交；
③若，则与所成的角相等；
④若，，则.其中正确的个数是(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
10．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足（），其中星等为的星的亮度为（，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则的近似值为（当较小时，）（）
A1.23 B.1.26
C.1.51 D.1.57
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数 (且)恒过的定点坐标为_____，若直线经过点且，则的最小值为___________.
12．若在幂函数的图象上，则______
13．已知函数其中且的图象过定点，则的值为______
14．_____________
15．若函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是_______.
16．的单调增区间为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数.求函数的单调区间，对称轴及对称中心.
18．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω＞0，－＜φ＜)的部分图象如图所示：

（1）求函数解析式；
（2）求函数的单调递增区间.
19．已知函数
（1）求 在上的增区间
（2）求在闭区间上的最大值和最小值
20．已知函数（且）.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若且在上最小值为，求m的值.
21．已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.
（1）求幂函数的解析式及实数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
2、A
【解析】设直线的倾斜角为，则
由直线的斜率，则
故
故选
3、A
【解析】函数在定义域内单调递减，排除B，单调区间不能用并集连接，排除CD.
【详解】定义域为R，且在定义域上单调递增，满足题意，A正确；
定义域为，在定义域内是减函数，B错误；
定义域为，而在为单调递增函数，不能用并集连接，C错误；
同理可知：定义域为，而在区间上单调递增，不能用并集连接，D错误.
故选：A
4、C
【解析】根据函数是上的减函数，则两段函数都是减函数，并且在分界点处需满足不等式，列不等式求实数的取值范围.
【详解】由条件可知，函数在上是减函数，
需满足，解得：.
故选：C
5、D
【解析】根据三个二次式的性质，求得命题的充要条件，结合选项和充分不必要的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，命题不等式的解集为，
即不等式的解集为，
可得，解得，即命题的充要条件为，
结合选项，可得Ü，所以是的一个充分不必要条件.
故选：D.
6、B
【解析】依题意可得，列方程解出
【详解】解：，，
故选：
7、D
【解析】利用补集和并集的定义即可得解.
【详解】，，，
，，
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟练掌握补集和并集的定义是解决本题的关键，属于基础题.
8、D
【解析】由题意，根据图象得到，，，，，
推出.令，，而函数.即可求解.
【详解】
【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
9、D
【解析】对于①，直线a，c的关系为平行、相交或异面．故①不正确
对于②，直线a，c的关系为平行、相交或异面．故②不正确
对于③，由异面直线所成角的定义知正确
对于④，直线a，c关系为平行、相交或异面．故④不正确
综上只有③正确．选D
10、B
【解析】根据题意列出方程，结合对数式与指数式的互化以及对数运算性质即可求解.
【详解】设“心宿二”的星等为，“天津四”的星等为，
“心宿二”和“天津四”的亮度分别为，，
，，，
所以，
所以，
所以，
所以与最接近的是1.26，
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】根据对数函数过定点得过定点，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：函数 (且)由函数(且)向上平移1个单位得到，函数(且)过定点，
所以函数过定点，即，
所以，
因为，所以
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为
故答案为：；
12、27
【解析】由在幂函数的图象上，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值
【详解】设幂函数，，
因为函数图象过点，
则，，
幂函数，
，故答案为27
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础题
13、1
【解析】根据指数函数的图象过定点，即可求出
【详解】函数其中且的图象过定点，
，，
则，
故答案为1
【点睛】本题考查了指数函数图象恒过定点的应用，属于基础题.
14、
【解析】利用指数与对数的运算性质，进行计算即可
【详解】.
【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，需要注意，属于基础题
15、
【解析】由题意根据数形结合，只要，并且对称轴在之间，，解不等式组即可
【详解】由题意，要使函数区间上有两个零点，
只要，即，解得，故答案为
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，函数零点的分布，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组，常见的形式有考虑端点值处函数值的符号，对称轴与所给区间的关系，对称轴处函数值的符号等，属于中档题.
16、
【解析】求出给定函数的定义域，由对数函数、正弦函数单调性结合复合函数单调性求解作答.
【详解】依题意，，则，解得，
函数中，由得，
即函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：函数的单调区间是定义域的子区间，求函数的单调区间，正确求出函数的定义域是解决问题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、函数增区间为；减区间为；对称轴为；对称中心为
【解析】根据的单调区间、对称轴及对称中心即可得出所求的.
【详解】

函数增区间为
同理函数减区间为
令

其对称轴为
令

其对称中心为
【点睛】本题主要考查的是正弦函数的图像和性质，考查学生对正弦函数图像和性质的理解和应用，同时考查学生的计算能力，是中档题.
18、（1）;（2）.
【解析】（1）根据最高点和最低点可求，结合周期可求，结合点的坐标可求，然后可得解析式；
（2）根据解析式，利用整体代换的方法可求单调区间.
【详解】（1）由图可得，所以；
因为时，，所以，；
所以.
（2）令，，解得，
即增区间为.
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解和单调区间的求解，单调区间一般利用整体代换的意识，侧重考查数学抽象的核心素养.
19、（1），
（2）最大值为，的最小值为
【解析】（1）由正弦型函数的性质，应用整体代入法有时单调递增求增区间；
（2）由已知区间确定的区间，进而求的最大值和最小值
【小问1详解】
令，得，
∴单调递增区间为，
由，可令得.令得，
所以在上的增区间为，
【小问2详解】
，
.
即在区间上的最大值为，最小值为.
20、（1）为奇函数，证明见解析.
（2）.
（3）.
【解析】（1）根据函数的奇偶性的定义可得证；
（2）由（1）得出是定义域为的奇函数，再判断出是上的单调递增，进而转化为，进而可求解；
（3）利用，可得到，所以，令，则，进而对二次函数对称轴讨论求得最值即可求出的值.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，又，∴为奇函数.
【小问2详解】
解：，∵，∴，或（舍）.∴单调递增.
又∵为奇函数，定义域为R，∴，
∴所以不等式等价于，，，
∴.故的取值范围为.
【小问3详解】
解：，解得（舍），，
令，∵，∴，，
当时，，解得（舍），
当时，，解得（舍），
综上，.
21、（1）；
（2）在（-1，1）上单调递增，证明见解析
【解析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质，求，再验证；
（2）根据函数单调性的定义，设，作差，判断符号，即可判断函数的单调性.
【小问1详解】
由条件可知，所以，即，
，
因为是奇函数，所以，即，
满足是奇函数，所以成立；
【小问2详解】
由（1）可知，
在区间上任意取值，且，
，
因为，所以，，
所以，
即，
所以函数在区间上单调递增.