上海市高东中学2025年高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

上海市高东中学2025年高一数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ）
A. B.
C. D.
2．函数的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
3．已知函数，，则函数的值域为（）
A B.
C. D.
4．若函数的图象（部分）如图所示，则的解析式为（）

A. B.
C. D.
5．设，则（）
A. B.a
C. D.
6．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A. B.
C D.
7．下列函数中与是同一函数的是（）
（1）（2）（3）（4）（5）
A.（1）（2） B.（2）（3）
C.（2）（4） D.（3）（5）
8．已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（）
A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
9．已知点落在角的终边上，且∈[0，2π)，则的值为（）
A B.
C. D.
10．若，则是第（）象限角
A.一 B.二
C.三 D.四
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线平行，则实数的值为____________
12．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点，，若在函数的图像上存在点，使得为等边三角形，则点的纵坐标为_________.
13．设函数，若关于x方程有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.
14．已知函数定义域是________（结果用集合表示）
15．已知，是方程的两根，则__________
16．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD中点，若，则______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）当，为奇函数时，求b的值；
（2）如果为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；
（3）若，，且的最小值为2，求的最小值.
18．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式，判断并证明函数在上的单调性；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求正实数的取值范围.
19．已知函数
（1）判断并证明函数的奇偶性;
（2）判断函数在区间上的单调性（不必写出过程），并解不等式
20．已知函数.
（1）证明为奇函数；
（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.
21．人类已进入大数据时代.目前数据量已经从级别越升到，，乃至级别.某数据公司根据以往数据，整理得到如下表格：
时间
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年

间隔年份（单位：年）
0
1
2
3
4

全球数据量（单位：）
0.5
0.75
1.125
1.6875
2.53125

根据上述数据信息，经分析后发现函数模型能较好地描述2008年全球产生的数据量（单位：）与间隔年份（单位：年）的关系.
（1）求函数的解析式；
（2）请估计2021年全球产生的数据量是2011年的多少倍（结果保留3位小数）？
参考数据：，，，，，.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为.
故选C.
2、D
【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.

3、B
【解析】先判断函数的单调性，再利用单调性求解.
【详解】因为，在上都是增函数，
由复合函数的单调性知：函数，在上为增函数，
所以函数的值域为，
故选：B
4、A
【解析】根据正弦型函数最小正周期公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】设函数的最小正周期为，因为，所以由图象可知：，即，
又因为函数过，所以有，
因为，所以令，得，即，
故选：A
5、C
【解析】由求出的值，再由诱导公式可求出答案
【详解】因为，所以，
所以，
故选：C
6、C
【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.
7、C
【解析】将5个函数的解析式化简后，根据相等函数的判定方法分析，即可得出结果.
【详解】（1）与定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；
（2）与的定义域相同，对应关系一致，是同一函数；
（3）与定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；
（4）与定义相同，对应关系一致，是同一函数；
（5）与对应关系不同，不是同一函数；
故选：C.
8、C
【解析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断.
【详解】为奇函数,则，
但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数，
所以是的充分不必要条件，
故选：C.
9、D
【解析】由点的坐标可知是第四象限的角，再由可得的值
【详解】由知角是第四象限的角，
∵，θ∈[0，2π)，∴.
故选：D
【点睛】此题考查同角三角函数的关系,考查三角函数的定义,属于基础题
10、C
【解析】由终边位置可得结果.
【详解】，终边落在第三象限，为第三象限角.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出
【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；
当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；
当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，
∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7
综上可得：m=﹣7
故答案为﹣7
【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题
12、
【解析】设直线的方程为，求得点，坐标，得到，取的中点，连接，根据三角形为等边三角形，表示出点坐标，根据点在函数的图象上，得到关于的方程，求出，进而可得点的纵坐标.
【详解】
设直线的方程为，由，得，所以点，
由，得，所以点，从而，
如图，取的中点，连接，
因为为等边三角形，则，所以，，
则点，
因为点在函数的图象上，则，
解得，所以点的纵坐标为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于先由同一参数表示出点坐标，再代入求解；本题中，先设直线，分别求出，坐标，得到等边三角形的边长，由此用表示出点坐标，即可求解.
13、或或
【解析】作出函数的图象，设，分关于有两个不同的实数根、，和两相等实数根进行讨论，当方程有两个相等的实数根时，再检验，当方程有两个不同的实数根、时，或，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.
【详解】作出函数的简图如图，

令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，
（1）当方程有两个相等的实数根时，
由，即，此时
当，此时，此时由图可知方程有4个实数根，此时不满足.
当，此时，此时由图可知方程有6个实数根，此时满足条件
(2)当方程有两个不同的实数根、时，则或
当时，由可得
则的根为
由图可知当时，方程有2个实数根
当时，方程有4个实数根，此时满足条件.
当时，设
由 ，则，即
综上所述：满足条件的实数a的取值范围是 或或
故答案为：或或
【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.
14、
【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.
【详解】函数有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
15、##
【解析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.
【详解】解：因为，是方程的两根，
所以，
所以，
故答案为：.
16、
【解析】以，为基底，由平面向量基本定理，列方程求解，即可得出结果.
【详解】设，
则，
由于
可得，解得，所以
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查运算求解能力，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2），（答案不唯一，满足即可）
（3）
【解析】（1）当时，根据奇函数的定义，可得，化简整理，即可求出结果；
（2）由函数和函数在上的单调递性，可知，即可满足题意，由此写出一组即可；
（3）令，则，然后再根据基本不等式和已知条件，可得，再根据基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
解：当时，，
因为是奇函数，所以，
即，得，可得；
【小问2详解】
解：当，时，此时函数为增函数.（答案不唯一，满足即可）
检验：当和时，，，均是上的单调递增函数，所以此时是上的单调递增函数，满足题意；
【小问3详解】
解：令，则，
所以，即，当且仅当，即时等号成立，
所以，
由题意，，所以.
由，
当且仅当时等号成立，由解得，
所以.
18、（1），函数在上单调递减，证明见解析.
（2）
【解析】（1）根据，得到函数解析式，设，计算，证明函数的单调性.
（2）根据函数的奇偶性和单调性得到，设，求函数的最小值得到答案.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，则，，
解得，，故.
在上单调递减，证明如下：设，
则，
，，，故，即.
故函数在上单调递减.
【小问2详解】
，即，
，，故，即，
设，，，
，故，又，故.
19、（1）函数是R上的偶函数，证明见解析
（2）函数在上单调递增，
【解析】（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数；
（2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得.
【小问1详解】
证明：依题意，函数的定义域为R．对于任意，
都有，
所以函数是R上的偶函数
【小问2详解】
解：函数在上单调递增
因为函数R上的偶数函数，所以
等价于．因为函数在上单调递增，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；
（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.
【小问1详解】
对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，
∴，
∴，故函数为奇函数；
【小问2详解】
∵函数为奇函数且在上的单调函数，
∴
由
可得，其中，
设，则，
则.∵则，
若关于的方程在上只有一个实根，
则或.
所以，
令，其中.
所以，函数在时单调递增.
①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.
则，解得；
②若为函数的唯一零点，则，解得，
∵，则.
且当时，设函数的另一个零点为，则，
可得，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意选取点代入函数解析式，取出参数即可.
（2）先求出2021年全球产生的数据量，然后结合条件可得答案.
【小问1详解】
由题意点在函数模型的图像上
则，解得
所以
【小问2详解】
2021年时，间隔年份为13，则2021年全球产生的数据量是

2021年全球产生的数据量是2011年的倍数为：