四川省任隆中学2026届高二上数学期末检测模拟试题含解析.doc

四川省任隆中学2026届高二上数学期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
2．下列函数的求导正确的是（）
A. B.
C. D.
3．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
4．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，点在上，且，则直线的斜率为
A. B.
C. D.
5．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）
A. B.
C. D.
7．椭圆的离心率为（）
A B.
C. D.
8．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
9．在等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
10．已知函数，若，，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
11． “”是“直线与直线垂直”的
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
12．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）
A. B.
C.24 D.48
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在棱长都为的平行六面体中，，，两两夹角均为，则________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________

14．若，且，则的最小值是____________.
15．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.
16．在等差数列中，前n项和记作，若，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分） 年月初，浙江杭州、宁波、绍兴三地相继爆发新冠肺炎疫情．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取件口罩进行检测，其结果如表：
测试分数

数量

（1）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；
（2）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取件，再从这件口罩中随机抽取件，求这件口罩全是合格品的概率
18．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，E为的中点

（1）若，证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围
19．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，已知点，，，设向量，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数k的值.
20．（12分）年月日，中国选手杨倩在东京奥运会女子米气步枪决赛由本得冠军，为中国代表团揽入本届奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若采用分层抽样的方法，从得分高于分的射击爱好者中随机抽取人调查射击技能情况，再从这人中随机选取人进行射击训练，求这人中至少有人的分数高于分的概率.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.
22．（10分）两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金，
（1）分别求以获胜、以获胜的概率；
（2）若前两局双方战成，后因为其他要事而终止比赛，间，怎么分奖金才公平？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】求出抛物线的准线方程，可得出点的坐标，利用抛物线的定义可求得点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】易知抛物线焦点为，准线方程为，可得准线与轴的交点，
设点，由抛物线的性质，，可得，
所以，，解得，即点，所以.
故选：D.
2、B
【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B
3、A
【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.
【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.

故选：A
4、B
【解析】根据抛物线的定义，求得p的值，即可得抛物线，的标准方程，求得抛物线的焦点坐标后，再根据斜率公式求解.
【详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为．故选B.
【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置.
5、B
【解析】当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，进而求得取值范围，当斜率不存在是，可得，两点坐标，进而可得的值.
【详解】当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
联立方程，得，恒成立，
则，，
，，
，
所以，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
所以，，
，
综上所述：，
故选：B.
6、B
【解析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭圆焦点即可判断作答.
【详解】对于A，椭圆的焦点在x轴上，A不是；
对于B，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，B是；
对于C，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，C不是；
对于D，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，D不是.
故选：B
7、D
【解析】根据椭圆方程先写出标准方程，然后根据标准方程写出便可得到离心率.
【详解】解：由题意得：

，
，
故选：D
8、C
【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：
故选：C
9、B
【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得.
【详解】在等差数列中，设公差为d，
由，，得，解得.
故选：B
10、A
【解析】函数，若，，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.
11、B
【解析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】因为直线与直线垂直，
则，即，解得或；
因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故选B
【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.
12、C
【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知
,所以,,
所以,所以.所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.点或点 （填出其中一组即可）
【解析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；
（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，
这样就证明了平面与直线垂直.
【详解】（1）令，，，
则，
则有，

故

（2）令，，，
则，
则有，

故

故，即
又由（1）之,,
故直线垂直于平面
同理可证直线垂直于平面
故答案为：0;点或点
14、
【解析】应用基本不等式“1”的代换求a+4b的最小值即可.
【详解】由，有，
则，
当且仅当，且，即时等号成立，
∴最小值为.
故答案为：
15、
【解析】先根据求出圆的方程，再由的面积的最大值结合离心率求出和的值，进而求出面积的最小值.
【详解】解：由题意，设，，
因为
即
两边平方整理得：

所以圆心为，半径
因为的面积的最大值为3
所以，解得：
因为椭圆离心率
即，所以
由得：
所以面积的最小值为：
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积的最值.
16、16
【解析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，所以，所以，所以；
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题意知分数小于的产品为不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.
（2）先利用分层抽样确定抽取的件口罩中合格产品和不合格产品的数量分别为件和件，再利用古典概型把所有基本事件种都列举出来，在判断件口罩全是合格品的事件有种情况，即可得到答案.
【小问1详解】
在抽取的件产品中，不合格的口罩有（件）
所以口罩为不合格品的频率为，
根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为
【小问2详解】
由题意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件
设件合格口罩记为，件不合格口罩记为
而从件口罩中抽取件，共有 共种情况，
这件口罩全是合格品的事件有共种情况
故件口罩全是合格品的概率为
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）取的中点F，连接．先证明，，即证平面，原题即得证；
（2）分别取的中点G，H，连接，证明为直线与平面所成的角，设正方形的边长为1，，在中，，即得解.
【小问1详解】
解：取的中点F，连接
因为，则为正三角形，所以
因为平面平面，则平面
因为平面，则．①
因为四边形为正方形，E为的中点，则
，所以，
从而，
所以．②
又平 面 ,
结合①②知，平面，所以
【小问2详解】
解：分别取的中点G，H，则，
又,，则，
所以四边形为平行四边形，从而.
因为，则
因为平面平面，，则平面，
从而，因为平面，
所以平面，从而平面
连接，则为直线与平面所成的角.
设正方形的边长为1，，则
从而，.
在中，
因为当时，单调递增，则，
所以直线与平面所成角的余弦值的取值范围是.

19、（1）
（2）
【解析】（1）由向量的坐标先求出，，，由向量的夹角公式可得答案.
（2）由题意可得，从而求出参数的值
【小问1详解】
由题，，，
故，，，
所以
故与夹角余弦值为.
【小问2详解】
由与的互相垂直知，
，，即
20、（1），平均分为；
（2）.
【解析】（1）利用频率直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得平均成绩；
（2）分析可知所抽取的人中，成绩在内的有人，分别记为、、、，成绩在内的有人，分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：根据频率分布直方图得到，解得.
这组样本数据平均数为.
【小问2详解】
解：根据频率分布直方图得到，分数在、内的频率分别为、，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，
成绩在内的有人，分别记为、、、，
成绩在内的有人，分别记为、，
记“人中至少有人的分数高于分”为事件.
则所有的基本事件有、、、、、、、、、
、、、、、，共种.
事件包含的基本事件有、、、、、、、、，共种，
所以.
21、（1）
（2）证明见解析，
【解析】（1）若选①，则由题意可得，解方程组求出，从而可求得椭圆方程，若选②，，再结合离心率和求出，从而可求得椭圆方程，
（2）由题意设直线MN的方程为，设，，，将直线方程代入椭圆方程中，消去，再利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，求出，结合前面的式子化简可得线过的定点，表示出的面积，利用基本不等式可求得其最大值
【小问1详解】
若选①：由题意知，∴.
所以椭圆C的方程为.
若选②：设圆与圆相交于点Q.
由题意知：.
又因为点Q在椭圆上，所以，∴.
又因为，∴，∴.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由题易知直线MN斜率存在且不为0，
因为，故设直线MN方程为，
设，，，
∴，
∴，，
因为点N关于x轴对称点为，所以，
所以直线方程为，
令，∴.
又，
∴.
所以直线过定点，
∴
.
当且仅当，即时，取等号.
所以面积的最大值为.
22、（1）以获胜、以获胜的概率分别是；
（2）分给分别元，元.
【解析】（1）以获胜、以获胜，则分别要连胜三局，前三局胜两局输一局，第四局胜利；（2）求出若两局之后正常结束比赛时，的胜率，按照胜率分奖金.
【小问1详解】
设以获胜、以获胜的事件分别为，依题意要想获胜，必须从第一局开始连胜局，；要想获胜，则前局只能胜局，且第局胜利，故概率;
【小问2详解】
设前两局双方战成后胜，胜的事件分别为.若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率；由于两人比赛没有和局，获胜的概率为，则获胜的概率为，若胜,则可能连胜局，或者局只胜场，第局胜，故概率.故奖金应分给元，分给元.