2025-2026学年河南省项城市第三高级中学数学高二第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河南省项城市第三高级中学数学高二第一学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）
A. B.
C. D.1
2．下列函数的求导正确的是（）
A. B.
C. D.
3．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A.3 B.6
C.8 D.12
4．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为
A. B.
C. D.
5．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．已知是虚数单位，若复数满足，则（）
A. B.2
C. D.4
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
8．已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
A.4 B.2
C.1 D.
9．设集合，集合，当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
10．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.
11．椭圆的焦点坐标为（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
12．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.
14．设数列满足，则an＝________
15．已知正数，满足.若恒成立，则实数的取值范围是______.
16．若x，y满足约束条件，则的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值及相应的的值.
18．（12分）已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程.
（1）过点；
（2）与直线垂直.
19．（12分）已知数列中，数列的前n项和为满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.
20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年）
1
2
3
4
5
6
7
失效费（单位：万元）
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）
（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费
参考公式：相关系数
线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，
参考数据：，，
21．（12分）已知直线l的斜率为-2，且与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积等于1．圆C的圆心在第四象限，直线l经过圆心，圆C被x轴截得的弦长为4．若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求圆C的方程
22．（10分）已知圆C：
（1）若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；
（2）若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用正弦定理求解.
【详解】在中，由正弦定理得，
解得，
故选：B.
2、B
【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B
3、B
【解析】根据椭圆中的关系即可求解.
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以，，可得，，
所以，可得，
所以该椭圆的短轴长，
故选：B.
4、B
【解析】根据题意，椭圆的标准方程为，其中则，
则有|F1F2|=2，若a=3，则|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，则|PF2|=6-|PF1|=2，
则cos∠F1PF2==.
故选B
5、B
【解析】分析可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出，求出在时的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由题意可知对任意的恒成立，则对任意的恒成立，
当时，，.
故选：B.
6、C
【解析】先求出，然后根据复数的模求解即可
【详解】，
，
则，
故选：C
7、A
【解析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解.
【详解】由三视图还原原几何体如图：

其中平面，，则该四面体的体积为.
故选：A.
8、D
【解析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出
【详解】设等比数列的公比为（），
由题意得，且，即，
，
因为，所以，，
故选：D
9、B
【解析】由已知得集合M表示以点圆心，以2半径左半圆，与y轴的交点为，集合N表示以点为圆心，以r为半径的圆，当圆C与圆O相外切于点P，有且仅有一个元素时，圆C过点M时，有且有两个元素，当圆C过点N，有且仅有一个元素，由此可求得r的取值范围.
【详解】解：由得，所以集合M表示以点圆心，以2半径的左半圆，与y轴的交点为，
集合表示以点为圆心，以r为半径的圆，
如下图所示，
当圆C与圆O相外切于点P时，有且仅有一个元素时，此时，
当圆C过点M时，有两个元素，此时，所以，
当圆C过点N时，有且仅有一个元素，此时，所以，
所以当有且仅有一个元素时，则r的取值范围为或，
故选：B.

10、B
【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】由题知，圆的圆心，半径.
因为，所以点在圆上，
所以过点的圆的切线与直线垂直，
设切线的斜率，则有，
即，解得.
因为直线与切线垂直，
所以，解得.
故选：B.
11、D
【解析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.
【详解】，可得焦点坐标为和.
故选：D
12、B
【解析】先求出抛物线方程，焦点坐标，再用两点间距离公式进行求解.
【详解】将代入抛物线中得：，解得：，所以抛物线方程为，焦点坐标为，所以点到抛物线焦点的距离为
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.
【详解】因，，则，
因与同向，则设，因此，，
于是得，解得，则，
所以向量的坐标为.
故答案为：
14、
【解析】先由题意得时，，再作差得，
验证时也满足
【详解】①
当时，；
当时，②
①②得，当也成立.
即
故答案为：
15、
【解析】利用基本不等式性质可得的最小值，由恒成立可得即可求出实数的取值范围.
【详解】解：因为正数，满足，
所以 ，
当且仅当时，即 时取等号
因为恒成立，
所以，解得 .
故实数的取值范围是.
故答案填：.
【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.
16、##
【解析】作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出可行域，由z的几何意义可知当过点B时取得最小值.

联立，则最小值为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）当或时，有最大值是20
【解析】（1）用等差数列的通项公式即可.
（2）用等差数列的求和公式即可.
【小问1详解】
在等差数列中，∵,
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴当或时，有最大值是20
18、（1）
（2）
【解析】（1）直接利用两点式写出直线的方程；
（2）先求出直线的斜率，由点斜式写出直线的方程.
【小问1详解】
直线经过，两点，
由两点式得直线的方程为.
【小问2详解】
与直线垂直
直线的斜率为
由点斜式得直线的方程为.
19、（1）证明见解析；
（2）2735.
【解析】(1)利用给定的递推公式结合“当时，”计算推理作答.
(2)插入所有项构成数列，，再确定数列的前50项中含有数列和的项数计算作答.
【小问1详解】
依题意，，当时，，两式相减得：，
则有，而，即，
所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列.
【小问2详解】
由(1)知，，即，插入的所有项构成数列，，
数列中前插入数列的项数为：，
而前插入数列的项数为45，
因此，数列的前50项中包含数列前9项，数列前41项，
所以.
20、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元
【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；
（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.
【详解】（1）由题意，知，
，

∴结合参考数据知：
因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系
（2）∵，
∴
∴关于的线性回归方程为，
将代入线性回归方程得万元，
∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元
21、
【解析】先根据题意设直线方程，由条件求出直线的方程，再根据条件列出等量关系，求出圆心和半径，进而求得答案.
【详解】解：设直线l的方程为y＝－2x＋b（b＞0），
它与两坐标轴的正半轴的交点依次为，，
因为直线l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1，所以，
解得b＝2，
所以直线l的方程是，即
由题意，可设圆C的圆心为，半径为r，
又因为圆C被x轴截得的弦长等于4，所以①，
由于直线与圆相切，
所以圆心C到直线的距离②，
所以①②联立得：，解得：或，
又圆心在第四象限，所以，
则圆心，，
所以圆C方程是.
22、（1）或.
（2）8
【解析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设利用垂径定理列方程求出k，即可求出直线方程；
（2）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，得到.判断出当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，，即可求出四边形PACB面积的最小值.
【小问1详解】
圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.
（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；
（2）当斜率存在时,设即.
圆心C到直线l的距离，
解得: 或k=0,所以直线方程为或.
【小问2详解】
过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.
因为,所以
所以.
所以当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.

所以，所以，
即四边形PACB面积的最小值为8.