2025-2026学年福建省泉州市永春一中数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

2025-2026学年福建省泉州市永春一中数学高一第一学期期末联考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
2．方程的解所在区间是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知两点，点在直线上，则的最小值为（）
A. B.9
C. D.10
4．已知函数，的最值情况为（）
A.有最大值，但无最小值 B.有最小值，有最大值1
C.有最小值1，有最大值 D.无最大值，也无最小值
5．函数y =|x2-1|与y =a的图象有4个交点，则实数a的取值范围是
A.(0， ) B.(-1，1)
C.(0，1) D.(1，)
6．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5,1)到直线l的距离为 ，则直线l的方程是(　　)
A.3x＋y＋4＝0 B.3x－y＋4＝0
C.3x－y－4＝0 D.x－3y－4＝0
7．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为
A. B.1
C. D.
8．已知，则　　
A.2 B.7
C. D.6
9．设均为实数，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．设，则
A.f(x)与g(x)都是奇函数 B.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
C.f(x)与g(x)都是偶函数 D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______________.
12．给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象；
③若是第一象限角且，则；
④已知函数，其中是正整数．若对任意实数都有，则的最小值是4
其中所有正确结论的序号是________
13．，若，则________.
14．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围是____________
15．已知正实数x，y满足，则的最小值为______
16．一个扇形周长为8，则扇形面积最大时，圆心角的弧度数是__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知,
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
18．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边过点
（1）求的值；
（2）求的值
19．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.
（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.
20．对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”满足函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}
（Ⅰ）设f（x）=x2-2，求集合A和B；
（Ⅱ）若f（x）=x2-a，且满足∅A=B，求实数a的取值范围
21．已知函数同时满足下列四个条件中的三个：
①当时，函数值为0；②的最大值为；③的图象可由的图象平移得到；④函数的最小正周期为.
（1）请选出这三个条件并求出函数的解析式；
（2）对于给定函数，求该函数的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合题意，即可得x，y，z的大小关系，即可得答案.
【详解】因为在上为单调递增函数，且，
所以，即，
因为在R上为单调递增函数，且，
所以，即，
又，
所以.
故选：A
2、C
【解析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.
【详解】∵,
∴,,，,∴,
∵函数的图象是连续的,
∴函数的零点所在的区间是.
故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.
3、C
【解析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，

在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故的最小值为.
故选：C
4、C
【解析】利用二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，即可求解最值，得到答案.
【详解】由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最小值，最小值为，
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及其应用，其中解答中熟练利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】作函数图象，根据函数图像确定实数a的取值范围.
【详解】作函数图象，根据函数图像得实数a的取值范围为（0，1），选C.

【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.
6、C
【解析】交点坐标为，设直线方程为，即，
则，解得，
所以直线方程为，即，故选C
点睛：首先利用点斜式设出直线，由距离公式求出斜率，解得直线方程．求直线的题型，基本方法是利用点斜式求直线方程，本题通过距离公式求斜率，写出直线方程
7、D
【解析】因为，所以设弦长为，则，即.
考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.
8、A
【解析】先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果
【详解】，
，
，故选A
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值
9、C
【解析】因为 ，所以 ，即“”是“”的充要条件，选C.
10、B
【解析】定义域为，定义域为R,均关于原点对称
因为，所以f(x)是奇函数，
因为，所以g(x)是偶函数，选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先讨论时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解.
【详解】当时，则化为（不恒成立，舍），
当时，要使对一切恒成立，
需，即，
即a的取值范围是.
故答案为：.
12、①②④
【解析】直接利用奇函数的定义，函数图象的平移变换，象限角，三角函数的恒等变换以及余弦函数图像的性质即可判断.
【详解】对于①，其中，
即为奇函数，则①正确；
对于②将的图象向右平移个单位长度，
即，则②正确；
对于③若令，，则，则③不正确；
对于④
，
由题意可知，任意一个长为的开区间上至少包含函数的一个周期，
的周期为，则，即，则的最小值是4, 则④正确；
故答案为：①②④.
13、
【解析】分和两种情况解方程，由此可得出的值.
【详解】当时，由，解得；
当时，由，解得（舍去）.
综上所述，.
故答案为：.
14、
【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得对称轴为，结合条件即得.
【详解】∵，
由，得，
当时，，则，解得此时，
当时，，则，解得此时，不合题意，
当取其它整数时，不合题意，
∴.
故答案：.
15、
【解析】令，转化条件为方程有解，运算可得
【详解】令，则，
化简得，
所以，解得或（舍去），
当时，，符合题意，
所以得最小值为.
故答案为：.
16、2
【解析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数
【详解】设扇形的半径为，则弧长为，，
所以当时取得最大值为4，此时，圆心角为（弧度）
故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1);(2)4;(3) .
【解析】（1）根据同角函数关系得到正弦值，结合余弦值得到正切值；（2）根据诱导公式化简，上下同除余弦值即可；（3）结合两角和的正弦公式和二倍角公式可得到结果.
【详解】（1）∵， ,∴∴
（2）.
（3）=，根据二倍角公式得到;
代入上式得到=.
【点睛】这个题目考查了三角函数的同角三角函数的诱导公式和弦化切的应用，以及二倍角公式的应用，利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
18、（1）
（2）当时，；当时，
【解析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式、同角三角函数基本关系化简求解；
（2）分，分别由定义求出三角函数值求解即可.
【小问1详解】
由角的终边过点，得，
所以
【小问2详解】
当时，，
所以
当时，，
所以
综上，当时，；
当时，
19、 (1) 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）
【解析】（1）判断是否为“局部中心函数”，即判断方程是否有解，若有解，则说明是“局部中心函数”，否则说明不是“局部中心函数”；
（2）条件是定义域为上的“局部中心函数”可转化为方程有解，再利用整体思路得出结果.
【详解】解：（1）由题意，（），
所以，
，
当时，

解得：，
由于，所以，
所以为“局部中心函数”.
（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，
所以方程有解，
即在上有解，
整理得：，
令，，
故题意转化为在上有解，
设函数，
当时，在上有解，
即，
解得：；
当时，
则需要满足才能使在上有解，
解得：，
综上：.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质，考查了整体换元的思想方法，还考查了学生理解新定义的能力.
20、（Ⅰ）A={-1，2}；B={-，-1，，3}（Ⅱ）[-，]
【解析】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；求解x可得集合B.
（Ⅱ）理解A=B时，它表示方程x2-a=x与方程（x2-a）2-a=x有相同的实根，根据这个分析得出关于a的方程求出a的值
【详解】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；
由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；
即x4-2x3-6x2+6x+9=0，
即（x+1）（x-3）（x2-3）=0，解得x=-1，x=3，x=，x=-，故B={-，-1，，3}；
（Ⅱ）∵∅A=B，
∴x2-a=x有实根，即x2-x-a=0有实根，则△=1+4a≥0，解得a≥-
由（x2-a）2-a=x，即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a，
从而有（x2-x-a）（x2+x-a+1）=0
∵A=B，
∴x2+x-a+1=0要么没有实根，要么实根是方程x2-x-a=0的根
若x2+x-a+1=0没有实根，则a＜；
若x2+x-a+1=0有实根且实根是方程x2-x-a=0的根，
由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同，
故此时x2+x-a+1=0有两个相等的根-，此时a=
方程x2-x-a=0可化为：方程x2-x-=0满足条件，
故a的取值范围是[-，]
【点睛】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想
21、（1）选择①②④三个条件，
（2）
【解析】（1）根据各条件之间的关系，可确定最大值1与②④矛盾，故③不符合题意，从而确定①②④三个条件；
（2）将化简为，再通过换元转化为二次函数问题再求解.
【小问1详解】
①由条件③可知，函数的周期，最大值为1与②④矛盾，故③不符合题意.选择①②④三个条件.
由②得，由④中，知，则，
由①知，解得，
又，则.
所求函数表达式为.
【小问2详解】
由，
令，那么，
令，其对称轴为.
当时，即时，
在上单调递增，则；
当时，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，即时，在上单调递减.
则，
综上所述可得