2025年辽宁省抚顺市十中数学高一上期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年辽宁省抚顺市十中数学高一上期末达标检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的图象如图所示，则（ ）

A. B.
C. D.
2．已知在海中一孤岛的周围有两个观察站，且观察站在岛的正北5海里处，观察站在岛的正西方.现在海面上有一船，在点测得其在南偏西60°方向相距4海里处，在点测得其在北偏西30°方向，则两个观察站与的距离为
A. B.
C. D.
3．设函数，则下列说法错误的是（）
A.当时，的值域为
B.的单调递减区间为
C.当时，函数有个零点
D.当时，关于的方程有个实数解
4．过圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的圆心，作直线分别交x，y正半轴于点A，B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SI+SⅣ＝SⅡ+SⅢ，则这样的直线AB有

A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
5．如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（）

A. B.
C. D.
6．的值为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数为奇函数，且当x > 0时，＝x2＋，则等于（ ）
A.－2 B.0
C.1 D.2
8．函数的零点个数为（  ）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．已知函数，则下列区间中含有的零点的是（ ）
A. B.
C. D.
10．下列哪一项是“”的必要条件
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调增区间是__________
12．________
13．已知，则___________.
14．已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，对于函数有下列几种描述：
①是周期函数； ②是它的一条对称轴；
③是它图象的一个对称中心； ④当时，它一定取最大值；
其中描述正确的是__________
15．计算：_______
16．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，，
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若函数．求当时函数的值域
18．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，
集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an<bn，则s<t.
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AC和A1B1的中点，且AB＝BC

（1）求证：平面BMN⊥平面ACC1A1；
（2）求证：MN∥平面BCC1B1
20．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
21．设函数，是定义域为R的奇函数
（1）确定的值
（2）若，判断并证明的单调性；
（3）若，使得对一切恒成立，求出的范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据正弦型函数图象与性质，即可求解.
【详解】由图可知：，所以，故，又，可求得，，由可得
故选：C.
2、D
【解析】画出如下示意图

由题意可得，，又，
所以A,B,C,D四点共圆，且AC为直径、
在中，,
由余弦定理得，
∴
∴（其中为圆的半径）.选D
3、C
【解析】利用二次函数和指数函数的值域可判断A选项；利用二次函数和指数函数的单调性可判断B选项；利用函数的零点个数求出的取值范围，可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】选项A：当时，当时，，
当时，，
当时，，
综上，函数的值域为，故A正确；
选项B：当时，的单调递减区间为，
当时，函数为单调递增函数，无单调减区间，
所以函数的单调递减为，故B正确；
选项C：当时，令，解得或（舍去），
当时，要使有解，即在上有解，只需求出的值域即可，
当时，，且函数在上单调递减，
所以此时的范围为，故C错误；
选项D：当时，，即，即，解得或，
当，时，，则，即，解得，
所以当时，关于的方程有个实数解，故D正确.
故选：C.
4、B
【解析】数形结合分析出为定值,因此为定值, 从而确定直线AB只有一条.
【详解】已知圆与轴,轴均相切,由已知条件得,第部分的面积是定值,所以为定值,即为定值,当直线绕着圆心C移动时,只有一个位置符合题意,即直线AB只有一条.
故选:B
【点睛】本题考查直线与圆的实际应用,属于中档题.
5、A
【解析】利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可
【详解】因为，
所以由，得，此时，所以排除CD，
当时，越来越小，单调递减，所以排除B，
故选：A
6、A
【解析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式.
故选：A
7、A
【解析】首先根据解析式求值，结合奇函数有即可求得
【详解】∵x > 0时，＝x2＋
∴＝1＋1＝2
又为奇函数
∴
故选：A
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，结合解析式及函数的奇偶性，求目标函数值
8、B
【解析】函数的定义域为，
且，
即函数为偶函数，
当时，，
设，则：

，
据此可得：，据此有：，
即函数是区间上的减函数，
由函数的解析式可知：，
则函数在区间上有一个零点，
结合函数的奇偶性可得函数在R上有2个零点.
本题选择B选项.
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
9、C
【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，
所以，函数在和上均为增函数.
对于A选项，当时，，，此时，，
所以，函数在上无零点；
对于BCD选项，当时，，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
10、D
【解析】根据必要条件的定义可知：“”能推出的范围是“”的必要条件，再根据“小推大”的原则去判断.
【详解】由题意，“选项”是“”的必要条件，表示“”推出“选项”，所以正确选项为D.
【点睛】推出关系能满足的时候，一定是小范围推出大范围，也就是“小推大”.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、，
【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.
详解：，
，
，
由，
计算得出，
因此函数的单调递增区间为：，
故答案为，.
点睛：本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
12、
【解析】根据对数运算、指数运算和特殊角的三角函数值，整理化简即可.
【详解】.
故答案为：.
13、##-0.75
【解析】将代入函数解析式计算即可.
【详解】令，则，
所以.
故答案为：
14、①③
【解析】先对已知是定义在的奇函数，且为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确.
【详解】因为为偶函数，所以，
即是它的一条对称轴；
又因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
则，，
即是周期函数，即①正确；
因为是它的一条对称轴且，
所以（）是它的对称轴，即②错误；
因为函数是奇函数且是以为周期周期函数，
所以，所以是它图象的一个对称中心，
即③正确；
因为是它的一条对称轴，所以当时，函数取得最大值或最小值，
即④不正确.
故答案为：①③.
15、
【解析】求出的值，求解计算即可.
【详解】
故答案为：
16、
【解析】根据题意求出函数和图像，画出图像根据图像解题即可.
【详解】因为满足，即；
又由，可得，因为当时，
所以当时，，所以，即；
所以当时，，所以，即；
根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意，恒成立，
根据图像当时，函数与图像交于点，
即的横坐标即为的最大值才能符合题意，所以，解得，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）首先求出的坐标，再根据数量积、向量夹角的坐标公式计算可得；
（2）根据数量积的坐标公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为，
当时，，又.
所以，，，
所以，
因为，
所以向量与的夹角为.
【小问2详解】
解:因为，，
所以，
当时，，
所以，则
因此函数在时的值域为
18、（1）A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}；（2）见解析.
【解析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A；
（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an<bn，可得an-bn≤-1．由题意可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出
试题解析：
(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an<bn，可得
s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1
≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1
＝－qn－1
＝－1<0，
所以s<t.
19、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由面面垂直的性质定理证明平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直；
（2）取BC中点P，连接B1P和MP，可证MN∥PB1，从而可证线面平行
【详解】（1）因为M为棱AC的中点，且AB＝BC，所以BM⊥AC，
又因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC
因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM
又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A＝A，所以BM⊥平面ACC1A1
因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1
（2）取BC的中点P，连接B1P和MP，

因为M、P为棱AC、BC的中点，
所以 MP∥AB，且MPAB，
因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
所以A1B1∥AB，A1B1＝AB
因为N为棱A1B1的中点，
所以B1N∥BA，且B1NBA；
所以B1N∥PM，且B1N＝PM；
所以MNB1P是平行四边形，
所以MN∥PB1
又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1
所以MN∥平面BCC1B1
【点睛】本题考查证明面面垂直与线面平行，掌握它们的判定定理是解题关键．立体几何证明中，要由定理得出结论，必须满足定理的所有条件，缺一不可．有些不明显的结论需要证明，明显的结论也要列举出来，否则证明过程不完整
20、（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可；
（2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证
【小问1详解】
如图，连结，则是的中点，又是的中点，

∴，
又∵平面，面，
∴平面；
【小问2详解】
∵底面是正方形，
∴，
∵平面，平面，
∴，又，
∴面，又平面，
故平面平面.
21、（1）2；（2）单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）利用奇函数定义直接计算作答.
（2）求出a值，再利用函数单调性定义证明作答.
（3）把给定不等式等价变形，再利用函数单调性求出最小值，列式计算作答.
【小问1详解】
因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
【小问2详解】
由（1）得，是定义域为的奇函数，
而，则，即，又，解得，
则函数在上单调递增，
，，，
因，则，，于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
【小问3详解】
当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.