广西壮族自治区普通高中2025-2026学年高一数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

广西壮族自治区普通高中2025-2026学年高一数学第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．（ ）
A B.
C. D.
2．函数的零点一定位于下列哪个区间（）.
A. B.
C. D.
3．的弧度数是（　　 ）
A. B.
C. D.
4． “”是“为第二象限角”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5． “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　）
A.异面 B.相交
C.平行 D.垂直
7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）

A. B.
C. D.
8．数向左平移个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，则　　
A.为奇函数 B.的最大值为1
C.的一个对称中心为 D.的一条对称轴为
9．的值为
A. B.
C. D.
10．平行于直线且与圆相切的直线的方程是
A.或 B.或
C.或 D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为_________
12．函数的定义域是__________.
13．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且++…+=2020， 平均数 ，则该组数据的标准差为_________.
14．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．

15．函数的单调增区间是__________
16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于9m的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱柱中，侧棱平面，、分别是、的中点，点在侧棱上，且，，求证：

（1）直线平面；
（2）平面平面.
18．计算下列各式的值
（1）；
（2）已知，求
19．已知函数的定义域是.
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于m的不等式.
20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是的中点

（1）求证:
（2）若，求证:平面平面
21．已知函数是函数图象的一条对称轴.
（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的取值集合；
（2）求在上的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由根据诱导公式可得答案.
【详解】
故选：A
2、C
【解析】根据零点存在性定理可得结果.
【详解】因为函数的图象连续不断，且，
，，
，
根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握零点存在性定理是解题关键.
3、C
【解析】弧度，弧度，则弧度弧度，故选C.
4、B
【解析】利用辅助角公式及正弦函数的性质解三角形不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件即可；
【详解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角为，因为真包含于，所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件；
故选：B
5、B
【解析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，
故选：B
6、D
【解析】若直线l∥α，α内至少有一条直线与l垂直，
当l与α相交时，α内至少有一条直线与l垂直
当l⊂α，α内至少有一条直线与l垂直
故选D
7、A
【解析】由图象知函数的定义域排除选项选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除C，
故选：A
【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.
8、D
【解析】利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的图象，得出结论
【详解】向左平移个单位，再向上平移1个单位后，
可得的图象，
在根据所得图象和的图象重合，故，
显然，是非奇非偶函数，且它的最大值为2，故排除A、B；
当时，，故不是对称点；
当时，为最大值，故一条对称轴为，故D正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
9、C
【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．
故选C．
10、A
【解析】设所求直线为，
由直线与圆相切得，
，
解得．所以直线方程为或．选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，解得
考点：角的概念，弧度的概念
12、{|且}
【解析】根据函数，由求解.
【详解】因为函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域是{|且}，
故答案为：{|且}
13、9
【解析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案
【详解】根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：9.
14、
【解析】根据图象先求出函数的解析式，然后由已知构造不等式0.25，解不等式可得每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间
【详解】解：当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，
故其解析式为，
当时，函数的解析式为，
因为在曲线上，所以，解得，
所以函数的解析式为，
综上，，
由题意有，解得，所以，
所以服药一次治疗疾病有效的时间为个小时，
故答案为：．
15、，
【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.
详解：，
，
，
由，
计算得出，
因此函数的单调递增区间为：，
故答案为，.
点睛：本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
16、.
【解析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.
【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，
则，所以矢长为，在中，，
，所以，
，
所以弧田的面积为.
故答案为：.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由中位线的性质得出，由棱柱的性质可得出，由平行线的传递性可得出，进而可证明出平面；
（2）证明出平面，可得出，结合可证明出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明出结论成立.
【详解】（1）、分别为、的中点，为的中位线，，
为棱柱，，，
平面，平面，平面；
（2）在三棱柱中，平面，
平面，，
又且，、平面，
平面，而平面，故.
又，且，、平面，
平面，又平面，平面平面.
【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.
18、（1）
（2）1
【解析】（1）根据对数和指数幂的运算性质计算即可得出答案.
（2）利用诱导公式化简目标式，然后分子分母同时除以，代入即可得出答案.
【小问1详解】
原式=
；
【小问2详解】
原式=.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由题意，在R上恒成立，由判别式求解即可得答案；
（2）由指数函数在R上单调递减，可得，求解不等式即可得答案.
【小问1详解】
解：∵函数的定义域是，
∴在R上恒成立，
∴，解得，
∴实数a的取值范围为.
【小问2详解】
解：∵，
∴指数函数在R上单调递减，
∴，解得或，
所以原不等式的解集为.
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】分析：（1）可根据为等腰三角形得到，再根据平面平面可以得到平面，故.
（2）因及是中点，从而有，再根据平面得到，从而平面，故平面平面.
详解：（1）证明:因为，点是棱的中点，
所以，平面.
因为平面平面，平面平面，平面 ，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）证明:因为，点是的中点，所以.
由（1）可得，又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面
点睛：线线垂直的证明，可归结为线面垂直，也可以转化到平面中的某两条直线的垂直问题，而面面垂直的证明，可转化为线面垂直问题，也转化为证明二面角为直二面角.
21、（1），；，
（2）
【解析】（1）化简得，根据对称轴可得的值，进而根据正弦函数的性质可得最值；
（2）根据正弦函数的性质可得在上的单调递增区间
【小问1详解】
由已知

又是函数图象的一条对称轴，
所以，得，
，
即，
，此时，即，
，此时，即，
【小问2详解】
，则，
当时，即时，单调递增，
在上的单调递增区间为.