2025年甘肃省陇南市徽县第三中学数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

2025年甘肃省陇南市徽县第三中学数学高一上期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（ ）
A.18人 B.36人
C.45人 D.60人
2．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
3．下列命题中不正确的是（ ）
A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D.为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
4．（）
A. B.3
C.2 D.
5．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C D.
6．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（ ）
A. B.2
C. D.2
7．已知，，，则下列判断正确是（）
A. B.
C. D.
8．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
30

2
乙
20

3
其中，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（ ）
A.2.2 B.2.6
C.2.5 D.2.4
9．与角的终边相同的最小正角是（ ）
A. B.
C. D.
10．方程的解所在的区间为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调递增区间为______.
12．已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________.
13．已知函数，若函数图象恒在函数图象的下方，则实数的取值范围是__________.
14．已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______
15．在内，使成立的x的取值范围是____________
16．的值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，，设的面积为，正方形的面积为

(1)用表示和；
(2)当变化时，求的最小值及此时角的大小.
18．定义在上的奇函数，已知当时，
（1）求在上的解析式；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围
19．求函数的最小正周期
20．已知，且是第四象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值；
21．已知函数
（1）求当f(x)取得最大值时，x的取值集合；
（2）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在上的图象．
x

y

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.
【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，
故抽样比为：，
抽取的男生人数为：.
故选：B.
2、D
【解析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.
【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
3、A
【解析】由中位数以及众数判断A；由百分位数的定义计算判断B；计算乙组数据的方差判断C；计算被抽中的30名学生每天平均阅读时间从而判断D.
【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；
对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；
对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；
故选：A
4、D
【解析】利用换底公式计算可得答案
【详解】
故选：D
5、A
【解析】求得每个选项中函数的定义域，结合对应关系是否相等，即可容易判断.
【详解】对于A：， ，定义域均为，
两个函数的定义域和对应关系都相同，表示同一函数；
对于B：的定义域为R，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D：的定义域为，的定义域为或，
两个函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：A.
【点睛】本题考查函数相等的判断，属简单题；注意函数定义域的求解.
6、D
【解析】可以将三棱锥侧面展开,将计算周长最小值转化成计算两点间距离最小值,解三角形,即可得出答案.
【详解】将三棱锥的侧面展开,如图

则将求截面 周长的最小值,转化成计算的最短距离,
结合题意可知=,,所以,故
周长最小值为,故选D.
【点睛】本道题目考查了解三角形的知识,可以将空间计算周长最小值转化层平面计算两点间的最小值,即可.
7、C
【解析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
8、D
【解析】根据平均数和方差的计算性质即可计算.
【详解】设甲、乙两班学生成绩分别为，甲班平均成绩为，乙班平均成绩为，因为甲、乙两班的平均成绩相等，所以甲、乙两班合在一起后平均成绩依然为，
因为，
同理，
∴甲、乙两班合在一起后的方差为：
.
故选：D.
9、D
【解析】写出与角终边相同的角的集合，即可得出结论.
【详解】与角终边相同角的集合为，
当时，取得最小正角为.
故选：D.
10、C
【解析】将方程转化为函数的零点问题，根据函数单调性判断零点所处区间即可.
【详解】函数在上单增，
由，知，
函数的根处在里，
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先将函数拆分成内外层函数，根据复合函数单调性的判断方法求解.
【详解】函数分成内外层函数 ，
是减函数，
根据“同增异减”的判断方法可知求函数的单调递增区间，
需求内层函数的减区间，
函数的对称轴是，
的减区间是，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数的单调性，意在考查基本的判断方法，属于基础题型，判断复合函数的单调性根据“同增异减”的方法判断，当内外层单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时为减函数，有时还需注意定义域.
12、
【解析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.
【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形弧长为，即，由扇形面积得：，解得，
所以该扇形的圆心角(正角)为.
故答案为：
13、
【解析】作出和时，两个函数图象，结合图象分析可得结果.
【详解】当时，，，
两个函数的图象如图：

当时，，，
两个函数的图象如图：

要使函数的图象恒在函数图象的下方，由图可知，，
故答案为：.
14、 ①.1 ②.
【解析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案.
【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示：

由图象可知：且
因为，
所以，
由，可得，
因为，所以
所以，整理得；
当时，令，可得，
由韦达定理可得
所以，
因为且，
所以或，则或，
所以
故答案为：1，
【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.
15、
【解析】根据题意在同一个坐标系中画出在内的函数图像，由图求出不等式的解集
【详解】解：在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示，
则使成立的x的取值范围是，
故答案为：

16、
【解析】根据两角和的正弦公式即可求出
【详解】原式
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）最小值
【解析】（1）在中，可用表示，从而可求其面积，利用三角形相似可得的长度，从而可得.
（2）令，从而可得，利用的单调性可求的最小值.
【详解】（1）在中，，所以，.
而边上的高为，
设斜边上的为，斜边上的高为，
因，所以，
故，故，.
（2），
令，则.
令，设任意的，
则，故为减函数，
所以，故，此时即.
【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.
18、（1）；（2）
【解析】（1）由函数是奇函数，求得，再结合函数的奇偶性，即可求解函数在上的解析式；
（2）把，不等式恒成立，转化为，构造新函数，结合基本初等函数的性质，求得函数的最值，即可求解
【详解】解：（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又由当时，，
当时，则，可得，
又是奇函数，所以，
所以当时，
（2）因为，恒成立，
即在恒成立，可得在时恒成立，
因为，所以，
设函数，根据基本初等函数的性质，可得函数在上单调递减，
因为时，所以函数的最大值为，
所以，即实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及利用分离参数，结合函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题
19、
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为，利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出，.
因为，
同理可证.

，
，
因此，原函数的最小正周期
【点睛】关键点点睛：本题考查余弦型函数最小正周期的求解，求解的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，本题中用到了积化和差公式，，在解题时应先给与证明.
20、（1），；（2）.
【解析】（1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可
（2）求出角正切值，再展开，代入计算即可.
【详解】解：（1），由得，
，
又是第四象限角，
，
，
，

.
（2）由（1）可知，
，
.
21、（1）；
（2）图象见解析.
【解析】（1）利用整体法求解三角函数最大值时x的取值集合；（2）填写表格，并作图.
【小问1详解】

由，得
故当f(x)取得最大值时，x的取值集合为
【小问2详解】
函数f(x)在上的图象如下：
x
0

y

0

2