2026届浙江省普通高等学校数学高二上期末学业质量监测试题含解析.doc

2026届浙江省普通高等学校数学高二上期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（）
A B.
C. D.
4．抛物线的焦点到准线的距离（ ）
A.4 B.
C.2 D.
5．倾斜角为45°，在轴上的截距是的直线方程为（）
A. B.
C. D.
6．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ）
A.9.5尺 B.10.5尺
C.11.5尺 D.12.5尺
8．函数的单调增区间为（）
A. B.
C. D.
9．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）
A.6天 495人 B.7天 602人
C.8天 716人 D.9天 795人
10．已知圆与圆，则圆M与圆N的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.外切 D.外离
11．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）
A.0.9 B.0.8
C.0.7 D.0.6
12．已知等差数列的前项和为，若，，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，，则___________.
14．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为______
15．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答）

16．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列中，，数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列，并求前项和的最大值
18．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，是的中点.
（1）若为线段的中点，证明：平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.

19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.
20．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆C上
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，试探究直线上是否存在定点Q，使得为定值．若存在，求出定点Q的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由
21．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程
22．（10分）设数列的前项和为，为等比数列，且，
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系
【详解】，解得，故
，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件
故选：A
2、B
【解析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】记另3名同学分别为a，b，c，
所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，
综上，小王和小张都没有挑出的概率为
故选：B.
3、D
【解析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.
【详解】由题设，知：，可得，则，
∴C的方程为.
故选：D.
4、A
【解析】写出抛物线的标准方程，即可确定焦点到准线的距离.
【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则，
∴焦点到准线的距离为4.
故选：A.
5、B
【解析】先由倾斜角为45°，可得其斜率为1，再由轴上的截距是，可求出直线方程
【详解】解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为，
因为直线在轴上的截距是，
所以所求的直线方程为，即，
故选：B
6、C
【解析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.
【详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是
故选：C
7、B
【解析】设影长依次成等差数列，公差为，根据题意结合等差数列的通项公式及前项和公式求出首项和公差，即可得出答案.
【详解】解：设影长依次成等差数列，公差为，
则，前9项之和，
即，解得，
所以立春的日影长为.
故选：B.
8、D
【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.
【详解】函数的定义域为

令，解得
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
9、B
【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B
10、B
【解析】将两圆方程化为标准方程形式，计算圆心距，和两圆半径的和差比较，可得答案,
【详解】圆,即，圆心，
圆，即，圆心，
则故有，
所以两圆是相交的关系，
故选：B
11、B
【解析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.
【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：B.
12、B
【解析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.
【详解】设等差数列公差为，
由得：；又，
，.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】由空间向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为，，，
所以，.
故答案为：2.
14、
【解析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.
【详解】依题意，作图如下，

取
的中点G，连结，
∵是正三角形，∴，，
又∵是正三棱柱，∴底面，∴，
即平面，，与平面的夹角=，
在中，，
故答案为：.
15、48
【解析】由已知按区域分四步，然后给，，，区域分步选择颜色，由此即可求解
【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，
第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，
则由分步计数原理可得共有种，
故答案为：48
16、1
【解析】由点P在椭圆上，可得的值，再根据椭圆与双曲线有相同的焦点即可求解.
【详解】解：因为点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆方程为，
又椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，解得，
故答案为：1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2)证明见解析，10.
【解析】(1)设出等比数列的公比q，利用给定条件列出方程求出q值即得；
(2)将给定等式变形成，再推理计算即可作答.
【详解】(1)设等比数列的公比为q，依题意，，而，解得，
所以数列的通项公式为；
(2)显然，，由得：，
所以数列是以为首项，公差为-1的等差数列，其通项为，
于是得，由得，而，则数列前4项都为非负数，从第5项起都是负数，又，
因此数列前4项和与前3项和相等并且最大，其值为，
所以数列前项和的最大值是10.
18、（1）证明见解析；
（2）存在点，且的长为，理由见解析.
【解析】（1）取的中点为，连接，得到，结合面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面；
（2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得的法向量为和向量，结合向量的夹角公式列出方程，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
证明：取的中点为，连接，
因为分别为的中点，所以，
又因为平面，且，
所以平面平面，
又由平面，所以平面.
【小问2详解】
解：以为原点，所在的直线分别为轴、轴，以垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为底面是边长为2的菱形，设，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，因为，所以，
即，解得，
设，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
设直线与平面所成角为，
所以，解得，即，
所以存在点，且的长为.

19、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据已知条件求出、、的值，可得出椭圆的标准方程；
（2）设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，然后化简直线的方程，即可求得直线所过定点的坐标.
【小问1详解】
解：椭圆上顶点到焦点距离，
又椭圆离心率为，故，，
因此，椭圆方程为.
【小问2详解】
解：设、，由题意可知且，
椭圆的右顶点为，则，，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以有，则，
即，
联立，
，即，①
由韦达定理得，，
所以，，
化简得，即或，均满足①式.
当时，直线，恒过定点，舍去；
当时，直线，恒过定点.
综上所述，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
20、（1）
（2）存在，定点的坐标为，实数的值为
【解析】（1）由题意可得，再结合，可求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设在直线上存在定点，当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数，再计算为常数可求出，从而可求得，当直线斜率不存在时，可求出两点的坐标，从而可求得的值
【小问1详解】
由题意知
结合，可得，
所以椭圆C的标准方程为，
【小问2详解】
设在直线上存在定点，使为定值，
①当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，·
由得，则，，
所以

为常数
则，解之得，
即定点为，则
②当直线斜率不存在时，即动直线方程为，不妨设，，
此时也成立
所以，存在定点使为定值，即
21、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；
【小问1详解】
解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；
22、（1），；（2）
【解析】（1）由已知利用递推公式，
可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.
（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和
【详解】解：(1)当时，
，
当时，满足上式，
故的通项式为
设的公比为，
由已知条件知，
，，所以，
，即
(2)，

两式相减得：

【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.