2026届云南省昭通市大关县第二中学数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2026届云南省昭通市大关县第二中学数学高一上期末教学质量检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（）
A.有最大值为1 B.有最小值为1
C.有最大值为 D.有最小值为
2．设，且，则的最小值是（）
A. B.8
C. D.16
3．函数图象一定过点
A.( 0,1） B.（1,0）
C.（0,3） D.（3,0）
4．设，则（ ）
A. B.
C. D.
5．已知关于的方程（）的根为负数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知集合，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）
A.100 B.
C.50 D.
8．已知直线与平行，则实数的取值是
A.－1或2 B.0或1
C.－1 D.2
9．若角的终边经过点，且，则（　　）
A.﹣2 B.
C. D.2
10．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为3000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，，）（）
A2026年 B.2027年
C.2028年 D.2029年
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．直线与圆相交于A，B两点，则线段AB的长为__________
12．函数f（x）=2x+x-7的零点在区间（n，n+1）内，则整数n的值为______
13．将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为______
14．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.
15．已知幂函数（是常数）的图象经过点，那么________
16．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数f（x）的定义域为I，对于区间，若，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间
（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；
（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；
（3）已知函数在区间[0，＋∞）上的图象连续不断，且在[0，＋∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间
18．已知函数（，且）.
（1）若函数在上的最大值为2，求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
19．求解下列问题
（1）化简（其中各字母均为正数）：；
（2）化简并求值：
20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．若，
（）求向量，夹角的正切值
（）问点在什么位置时，向量，夹角最大？
21．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；
（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用基本不等式的性质进行求解即可
【详解】，，且，
（1），
当且仅当，即，时，取等号，
故的最大值是：，
故选：
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的条件
2、B
【解析】转化原式为，结合均值不等式即得解
【详解】由题意，故
则
当且仅当，即时等号成立
故选：B
3、C
【解析】根据过定点，可得函数过定点.
【详解】因为在函数中，
当时，恒有 ,
函数的图象一定经过点，故选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.
4、B
【解析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
5、D
【解析】分类参数，将问题转化为求函数在的值域，再利用指数函数的性质进行求解.
【详解】将化为，
因为关于的方程（）的根为负数，
所以的取值范围是在的值域，
当时，，则，
即的取值范围是.
故选：D.
6、C
【解析】
利用元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误.
详解】∵，∴，所以选项A、B、D错误，
由空集是任何集合的子集，可得选项C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.
7、D
【解析】利用向量的平行四边形法则求解即可
【详解】
如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，
根据向量的平行四边形法则，

故选：D
8、C
【解析】因为两直线的斜率都存在，由与平行得，当时，两直线重合，，故选C.
9、D
【解析】根据三角函数定义得到，计算得到答案.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查了三角函数定义，属于简单题.
10、B
【解析】设经过年之后，投入资金为万元，根据题意列出与的关系式；1亿元转化为万元，令，结合参考数据即可求出的范围，从而判断出选项.
【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，
由题意可得：，即，
所以，
即，
又因为，所以，
即从2027年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】算出弦心距后可计算弦长
【详解】圆的标准方程为：，圆心到直线的距离为，
所以，填
【点睛】圆中弦长问题，应利用垂径定理构建直角三角形，其中弦心距可利用点到直线的距离公式来计算
12、2
【解析】因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(1)＝21＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0所以f(2)·f(3)<0，故函数f(x)的零点所在的一个区间是(2,3)，所以整数n的值为2.
13、1
【解析】设该圆锥的底面半径为r，推导出母线长为2r，再由圆锥的高为，能求出该圆锥的底面半径
【详解】
设该圆锥的底面半径为r，
将一个高为的圆锥沿其侧面一条母线展开，其侧面展开图是半圆，
，
解得，
圆锥的高为，
，
解得
故答案为1
【点睛】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥性质、圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
14、
【解析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案
【详解】若函数f（x）＝loga（2x﹣a）在区间[]上恒有f（x）＞0，
则，或
当时，解得＜a＜1，当时，不等式无解.
综上实数的取值范围是（，1）
故答案为（，1）．
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．
15、
【解析】首先代入函数解析式求出，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可；
【详解】解：因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，所以，所以，所以；
故答案：
16、
【解析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域
【详解】解：由得，
又为奇函数，得，
，
又是定义在，上的减函数，

解得：
即
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明详见解析；（2）a＞1；（3）证明详见解析.
【解析】（1）取特殊点可以验证；
（2）利用的单调递减可以求实数a的取值范围；
（3）先证f（x）在上存在零点，然后函数在区间[0，＋∞）上仅有2个零点， f（x）在[π，＋∞）上不存在零点，利用定义说明区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间.
详解】（1）设x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）
若f（x1）＋f（x2）＝1，则
所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，
取，，满足定义
所以区间（0，2）是函数的V区间
（2）因为区间[0，a]是函数的V区间，
所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得
因为在[0，a]上单调递减
所以，，
所以，a-1＞0，a＞1
故所求实数a的取值范围为a＞1
（3）因为，，
所以f（x）在上存在零点，
又因为f（0）＝0
所以函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点，
因为函数在区间[0，＋∞）上仅有2个零点，
所以f（x）在[π，＋∞）上不存在零点，
又因为f（π）＜0，所以，f（x）＜0
所以，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2），f（x1）＋f（x2）＜0
即因此不存在，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1
所以区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间
【点睛】本题考查了函数的性质，对新定义的理解，要求不仅好的理解能力，还要有好的推理能力.
18、 (1)或；(2)
【解析】(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；
(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.
试题解析：
（1）当时，在上单调递增，
因此，，即；
当时，上单调递减，
因此，，即.
综上，或.
（2）不等式即.
又，则，即，
所以.
19、（1）
（2）
【解析】（1）结合指数运算求得正确答案.
（2）结合对数运算求得正确答案.
【小问1详解】
原式

【小问2详解】
原式

20、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】分析：（）设向量与轴的正半轴所成的角分别为， 则向量所成的夹角为，由两角差的正切公式可得向量夹角的正切值为；（）由 （1）知 ，利用基本不等式即可的结果.
详解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0
设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，
则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，
由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，
得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，
故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；
（2）由 （1）知tan（α﹣β）==≤=，
所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角|α﹣β|的值也最大，
当x=时，取得最大值成立，解得x=2，
故点C在x的正半轴，距离原点为2，
即点C的坐标为C（2，0）时，向量，夹角最大
点睛：本题主要考查利用平面向量的夹角、两角差的正切公式以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
21、（1）70；（2）0.5.
【解析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.
【详解】（1）依题意，，，，
由得，所以.
因为，所以，又，所以.
所以，
所以.
即时点P距离地面的高度为70m.
（2）由（1）知.
令，即，
从而，
∴.
∵，
∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.
【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题