广西梧州市蒙山县蒙山中学2025年高一数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

广西梧州市蒙山县蒙山中学2025年高一数学第一学期期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若a＞b＞1，0＜c＜1，则下列式子中不正确的是（　　）
A. B.
C. D.
2．已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，G为所在平面内的一点，且满足，则G点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
3．设；，则p是q（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知，则的值为（ ）
A.3 B.6
C.9 D.
5．下列函数中，表示同一个函数的是
A.与
B.与
C.与
D.与
6．已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则函数在上单调递增，是恒成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
10．已知函数为奇函数，，若对任意、，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的最大值与最小值之差为，则______
12．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______
13．化简_____
14．如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为___________.

15．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
16．，的定义域为____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数表示成的形式.
（1）若，，，，，把的二次项系数表示成关于f的函数，并求的值域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）；
（2）若，，，，求证：.
18．设全集，集合，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
19．若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数
（1）求事件“”的概率；
（2）求事件“方程有实数根”的概率
20．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

1
2
3
4
5
6

（万个）

10

50

250

若该变异毒株的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.（参考数据：）
21．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：，，）
（1）若=3，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？
（2）若=6，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
（3）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可判断出正误．
【详解】解：，，,A正确;
是减函数，，B正确;
为增函数，，C正确.
是减函数，,D错误.
故选．
【点睛】本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2、A
【解析】利用向量的坐标表示以及向量坐标的加法运算即可求解.
【详解】由题意易得，，
，
.
即G点的坐标为，
故选：A.
3、A
【解析】根据特殊角的三角函数值以及充分条件与必要条件的定义可得结果.
【详解】当时，显然成立，即若则成立；
当时，，即若则不成立；
综上得p是q充分不必要条件，
故选：A.
4、A
【解析】直接由对数与指数的互化公式求解即可
【详解】解：由，得，
故选：A
5、D
【解析】对于A，B，C三个选项中函数定义域不同，只有D中定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，即可得到所求结论
【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，定义域为，的定义域为R，定义域不同，故不为同一函数；
对于D，与定义域和对应法则完全相同，故选D.
【点睛】本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，考查判断和运算能力，属于基础题
6、D
【解析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，
由题意，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
7、D
【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
8、A
【解析】根据充分、必要条件的定义证明即可.
【详解】因为函数在上单调递增，则，
恒成立，即恒成立，，即.
所以 “”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9、C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
10、A
【解析】由奇函数性质求得，求得函数的解析式，不等式等价于，由此求得答案.
【详解】解：因为函数的定义域为，又为奇函数，∴，解得，∴，所以，
要使对任意、，恒成立，
只需，又，∴，即，
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或.
【解析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；
当时，显然不成立；
当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，
综上可得，或.
故答案为：或.
12、
【解析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.
【详解】作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.
13、-2
【解析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.
【详解】.
故答案为：.
14、 ①. ②.
【解析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.
【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面

设，则，解得.
在正方形中，，则
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为
故该正八面体外接球的体积为.
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.
取的中点E，连接，，则，
又，，平面
过O作于H，又，，所以平面，
又，，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，
15、 ①.448 ②.600
【解析】
销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较．
【详解】由题意可得（元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入，，
即，.
当时，，
故当时，y取最大值，，
当时，易知，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法．
16、
【解析】由，根据余弦函数在的图象可求得结果.
【详解】由得：，又，，
即的定义域为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析
【解析】（1）根据已知写出二次项系数后可得；；
（2）注意到，因此可以在不等式两边同乘以分母后化简不等式，然后比较可得（可作差或凑配证明）
【小问1详解】
由题意又，所以
即的值域是；
【小问2详解】
因为，，，，所以，

因为，，，，所以，
所以，
所以，

因为，，，，所以，
所以，
所以，
综上，原不等式成立
18、 (1)或；(2).
【解析】（1）因为，故，从而或者，故或（舎）或.（2）计算得，故，又，所以的取值范围是.
解析：（1）∵，，，∴或，∴或或，经验知或.
（2），，由，得，又及与集合中元素相异矛盾，所以的取值范围是.
19、（1）
（2）
【解析】（1）利用列举法求解，先列出取两数的所有情况，再找出满足的情况，然后根据古典概型的概率公式求解即可，
（2）由题意可得，再根据对立事件的概率公式求解
【小问1详解】
设事件表示“”
因为是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数
所以样本点一共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值
符合古典概型模型，事件包含其中3个样本点，
故事件发生的概率为
【小问2详解】
若方程有实数根，则需，即
记事件“方程有实数根”为事件，由（1）知，
故
20、（1）选择函数更合适，解析式为
（2）11个单位
【解析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据时的值估计即可；
（2）根据题意，进而结合对数运算求解即可.
【小问1详解】
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入，，不符合题意
若选，将，和，代入得
，解得
得
将代入得，符合题意
综上：所以选择函数更合适，解析式为
【小问2详解】
解：设至少需要个单位时间，
则，即
两边取对数：

因为，所以的最小值为11
至少经过11个单位时间不少于1亿个
21、（1）
（2）555 （3）9
【解析】（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；
（2）还是代入求值即可；
（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出、，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得
【小问1详解】
解：因为候鸟的飞行速度可以表示为函数，
所以将，代入函数式可得：

故此时候鸟飞行速度为
【小问2详解】
解：因为候鸟的飞行速度可以表示为函数，
将，代入函数式可得：
即
所以于是
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为555个单位
【小问3详解】
解：设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，
依题意可得：
，两式相减可得：，于是
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍