2025年安徽省浮山中学等重点名校高一上数学期末联考试题含解析.doc

2025年安徽省浮山中学等重点名校高一上数学期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
2．已知直线经过点，，则该直线的斜率是
A. B.
C. D.
3．函数在上的部分图象如图所示，则的值为

A. B.
C. D.
4．已知，，则在方向上的投影为（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A.函数是单调增函数
B.函数的值域为
C.函数为偶函数
D.函数的定义域为
6． “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知是锐角，那么是
A.第一象限角 B.第一象限角或第二象限角
C.第二象限角 D.小于的正角
8．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）
A. B.
C. D.
9．已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
10．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，若关于x的方程有四个不同的解，，，，，且，则m的取值范围是_____，的取值范围是__________
12．已知函数，则____
13．已知，若，则________
14．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为______
15．已知函数.
（1）若在上单调递减，则实数的取值范围是___________；
（2）若的值域是，则实数的取值范围是___________.
16．已知函数是定义在的奇函数，则实数b的值为_________；若函数，如果对于，，使得，则实数a的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若有两个不同的实数根，求a的取值范围
18．已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上.
（1）求实数a的值；
（2）若函数有两个零点，求实数b的取值范围.
19．已知函数满足下列3个条件：
①函数的周期为；②是函数的对称轴；③.
（1）请任选其中二个条件，并求出此时函数的解析式；
（2）若，求函数的最值.
20．已知集合，，.若，求实数a的取值范围.
21．已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】作出函数的图象,令，则原方程可化为在上有2个不相等的实根，再数形结合得解.
【详解】
作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为，
故选B
【点睛】形如的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出，的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令，先估计关于的方程的解的个数，再根据的图象特点，观察直线与图象的交点个数，进而确定参数的范围
2、D
【解析】根据斜率公式，，选D.
3、C
【解析】由图象最值和周期可求得和，代入可求得，从而得到函数解析式，代入可求得结果.
【详解】由图象可得：，
代入可得：

本题正确选项：
【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够根据正弦函数的图象求解出函数的解析式.
4、A
【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】，，
在方向上的投影为：
.
故选：A
【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
5、D
【解析】应用换元法求的解析式，进而求其定义域、值域，并判断单调性、奇偶性，即可知正确选项.
【详解】由题意，由，则，即.
令，则
∴，其定义域为不是偶函数，
又故不单调增函数，
易得，则，
∴.
故选：D
6、B
【解析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，
故选：B
7、D
【解析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案
【详解】因为是锐角，所以 ，故
故选D.
【点睛】本题考查象限角，属于简单题
8、D
【解析】先得到两个正三角形面积之和的表达式，再对其求最小值即可.
【详解】设一个正三角形的边长为，则另一个正三角形的边长为，
设两个正三角形的面积之和为，
则，
当时，S取最小值.
故选：D
9、D
【解析】令得，
作出和在上的函数图象如图所示，
由图像可知和在上有个交点，
∴在上有个零点，
∵，均是偶函数，
∴在定义域上共有个零点，
故选

点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等
10、C
【解析】①当，，且，则，反之当，必有.
②当，，且，则，反之，若，则，
，所以.
③当，则；反之，，.
综上所述，“存在集合使得是“”的充要条件.
考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】画出的图象，结合图象可得的取值范围及，，再利用函数的单调性可求目标代数式的范围.
【详解】的图象如下图所示，
当时，直线与的图象有四个不同的交点，
即关于x的方程有四个不同的解，，，．结合图象，
不难得即
又，得即，且，
所以，设，
易知道在上单调递增，所以，
即的取值范围是
故答案为：，.

思路点睛：知道函数零点的个数，讨论零点满足的性质时，一般可结合初等函数的图象和性质来处理，注意图象的正确的刻画.
12、16、
【解析】令，则，所以，故填.
13、1
【解析】由已知条件可得，构造函数，求导后可判断函数在上单调递增，再由，得，从而可求得答案
【详解】由题意得，
，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以，所以，
故答案为：1
14、；
【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度，得到,所以的最小值为
15、 ①. ②.
【解析】（1）分析可知内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）分析可知为二次函数值域的子集，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）令，.
当时，，该函数为常值函数，不合乎题意.
所以，，内层函数的对称轴为直线，
由于函数在上单调递减，且外层函数为增函数，
故内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，
所以，，解得；
（2）因为函数的值域是，则为二次函数值域的子集.
当时，内层函数为，不合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：（1）；（2）.
16、 ①.0 ②.
【解析】由，可得，设在的值域为，在上的值域为，根据题意转化为，根据函数的单调性求得函数和的值域，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数是定义在的奇函数，可得，即，经检验，b=0成立，
设在值域为，在上的值域为，
对于，，使得，等价于，
又由为奇函数，可得，
当时，，，
所以在的值域为，
因为在上单调递增，在上单调递减，
可得的最小值为，最大值为，
所以函数的值域为，
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：；.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角恒等变换公式将化到最简形式，确定，在这个范围内解三角不等式即可；
（2）确定在上的最值，根据有两个不同的实数根，得到a应满足的条件，解得答案.
【小问1详解】
原式化简后得,
由，则
∴，可得，即，
故不等式的解集为
【小问2详解】
在上的单调递增区间为，
单调递减区间为，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又有两个不同的实数根，则，
∴，故a的取值范围为
18、（1）
（2）
【解析】（1）由函数图象的平移变换可得点A坐标，然后代入函数可解；
（2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.
【小问1详解】
函数的图象可由指数函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到.
因为函数的图象过定点，故函数的图象恒过定点，
又因为A点在图象上，则
∴解得
【小问2详解】
，
若函数有两个零点，则方程有两个不等实根，
令，，则它们的函数图象有两个交点，
由图可知：，故b的取值范围为.

19、（1）答案见解析，；（2）最大值；最小值.
【解析】(1)由①知，由②知，由③知，结合即可求出的解析式.
(2)由可得，进而可求出函数最值.
【详解】解：（1）选①②，则，解得，
因为，所以，即；
选①③，，由得，
因，所以，即；
选②③，，由得，
因为，所以，即.
（2）由题意得，因为，所以.
所以当即时，有最大值，
所以当即时，有最小值.
【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的值域，考查了三角函数表达式的求解，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
20、
【解析】求函数定义域得，解不等式得，进而得，再结合题意，分和两种情况求解即可.
【详解】解：由，解得，所以，
因为，解得，所以
所以
因为，
所以，当时，，解得
时，可得，解得：
综上可得：实数a的取值范围是
21、（1），证明见解析；（2）.
【解析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；
（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，所以.
任取，且，则，
因为，
即，所以是上的增函数.
（2）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，
又因为在上单调递增，所以的解集非空，
即在上有解，则满足，解得，
所以实数的取值范围.
.