2026届北京市八一学校数学高一上期末质量检测试题含解析.doc

2026届北京市八一学校数学高一上期末质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知偶函数f (x)在区间单调递增，则满足的x 取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
2．已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
3．已知集合，则（ ）
A. B.或
C. D.或
4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
5．已知，则的值为
A. B.
C. D.
6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A.分钟 B.分钟
C.分钟 D.分钟
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A. B.
C. D.
8．若，且，则的值是　　
A. B.
C. D.
9．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A. B.
C. D.
10．函数的图像的一条对称轴是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
12．已知角的终边过点，则__________
13．已知函数，则___________.
14．已知表示这个数中最大的数．能够说明“对任意,都有”是假命题的一组整数的值依次可以为_____
15．定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________
16．写出一个在区间上单调递增幂函数：______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知定义在R上的函数满足：
①对任意实数，，均有；
②；
③对任意，
（1）求的值，并判断的奇偶性；
（2）对任意的x∈R，证明：；
（3）直接写出的所有零点(不需要证明)
18．已知二次函数满足，且
求的解析式；
设，若存在实数a、b使得，求a的取值范围；
若对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围
19．已知.
（1）若是奇函数，求的值，并判断的单调性（不用证明）；
（2）若函数在区间(0,1)上有两个不同的零点，求的取值范围.
20．从某校随机抽取100名学生，调查他们一学期内参加社团活动的次数，整理得到的频数分布表和频率分布直方图如下：
　组号
　分组
　频数
　1

　6
　2

　8
　3

　17
　4

　22
　5

　25
　6

　12
　7

　6
　8

　2
　9

　2
　合计
　100
从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率；
求频率分布直方图中的a、b的值；
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数

21．在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，丽水市某村施行“封村”行动.为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站.供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x米.
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？
（2）现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：.
故选：A
2、B
【解析】根据周期性和对称性求得函数解析式，再利用函数单调性即可比较函数值大小.
【详解】根据的最小正周期为，故可得，解得.
又其关于中心对称，故可得，又，
故可得.则.
令，
解得.
故在单调递增.
又，且都在区间中，
且，故可得.
故选：.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，以及利用三角函数的单调性比较函数值大小，属综合基础题.
3、C
【解析】直接利用补集和交集的定义求解即可.
【详解】由集合，
可得：或，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本该考查了集合的运算，解决该题的关键是掌握补集和交集的定义..
4、D
【解析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解.
【详解】解：由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若，，则或，故A错误；
在B中，若，，则，故B错误；
在C中，若，，则或，故C错误；
在D中，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确；
故选：D
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题
5、C
【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为sin2α+cos2α，然后给分子分母求除以cos2α，把原式化为关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值
【详解】因为tanα＝3，
所以

故选C
【点睛】本题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做题的突破点是“1”的灵活变形
6、D
【解析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论.
【详解】由题知，，，所以，，可得，
所以，，.
故选：D.
7、B
【解析】由三视图可知,该几何体是由圆柱切掉四分之一所得,故体积为.故选B.
8、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解
【详解】由题意，知，且，
所以，则，

故选B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9、C
【解析】因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C
考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象
10、C
【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把代入后得到,因而对称轴为，选.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
12、
【解析】∵角的终边过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴cos=
故答案为
13、
【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故答案为：.
14、（答案不唯一）
【解析】首先利用新定义，再列举命题为假命题的一组数值，再根据定义，验证命题是假命题.
【详解】设，，
则，
而，
，故命题为假命题，
故依次可以为
故答案为：（答案不唯一）
15、
【解析】由题意，作函数y=f（x）与y=a的图象如下，

结合图象，
设函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点分别为
x1，x2，x3，x4，x5，
则x1+x2=﹣6，x4+x5=6，
﹣log0.5（﹣x3+1）=a，
x3=1﹣2a，
故x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+6+1﹣2a=1﹣2a，
∵关于x的方程f（x）﹣a=0（0＜a＜1）所有根之和为1﹣，
∴a=
故答案为.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：
(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；
(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用
16、x（答案不唯一）
【解析】由幂函数的性质求解即可
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，
所以幂函数可以是，
故答案为：（答案不唯一）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）＝2，f(x)为偶函数；
（2）证明见解析；（3），.
【解析】(1)令x＝y＝0可求f(0)；令x＝y＝1可求f(2)；令x＝0可求奇偶性；
(2)令y＝1即可证明；
(3)(1)，是以4为周期的周期函数，由偶函数的性质可得，从而可得的所有零点
【小问1详解】
∵对任意实数，，均有，
∴令，则，可得，
∵对任意,，，∴f(0)＞0，
∴；
令，则；
∴；
∵f(x)定义域为R关于原点对称，且令时，，
∴是R上的偶函数；
【小问2详解】
令，则，
则，
∴，
即；
【小问3详解】
(1)，且是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得，从而可得f(－1)＝(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，故f(x)的零点为奇数，
即f(x)所有零点为，.
18、（1）；（2）或；（3）.
【解析】利用待定系数法求出二次函数的解析式；
求出函数的值域，再由题意得出关于a的不等式，求出解集即可；
由题意知对任意，都有，讨论t的取值，解不等式求出满足条件的t的取值范围
【详解】解：设，因为，所以；；
；；
；解得：；；
函数，若存在实数a、b使得，则，
即，，解得或，
即a的取值范围是或；
由题意知，若对任意，都有恒成立，
即，故有，
由，；
当时，在上为增函数，
，解得，所以；
当，即时，在区间上是单调减函数，
，解得，所以；
当，即时，，
若，则，解得；
若，则，解得，
所以，应取；
综上所述，实数t的取值范围是
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想与转化思想，属于难题
19、 (1)答案见解析；(2)
【解析】(1)函数为奇函数，则，据此可得，且函数在上单调递增；
(2)原问题等价于在区间(0,1)上有两个不同的根，换元令，结合二次函数的性质可得的取值范围是.
试题解析：
（1）因为是奇函数，
所以，
所以；
在上是单调递增函数;
(2) 在区间(0,1)上有两个不同的零点，
等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根，
即方程在区间(0,1)上有两个不同的根，
所以方程在区间上有两个不同的根，
画出函数在(1,2)上的图象,如下图,

由图知,当直线y=a与函数的图象有2个交点时,
所以的取值范围为.
点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用
20、（1）0.9；（2）b=0.125；（3）7.68次.
【解析】由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为90，由此能求出从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率
由频数分布表及频率分布直方图能求出频率分布直方图a，b的值
利用频率分布直方图和频数分布表能估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数
【详解】解：由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为：，
从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率
由频数分布表及频率分布直方图得：
频率分布直方图中，
估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数：
次
【点睛】本题考查概率、频率、平均数的求法，考查频数分布表、频率分布直方图等知识，属于基础题
21、（1）当左右两面墙的长度为5时，报价最低为43200元；（2）.
【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，推出，利用基本不等式求解最值即可；
（2）由题意对任意的，恒成立．即恒成立，利用换元法以及基本不等式求解最小值即可
【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，
则，
当且仅当，即时等号成立
即当左右两侧墙的长度为5米时，甲工程队的报价最低为43200元
（2）由题意可得，对任意的，恒成立
即，从而恒成立，
令，，，
又在，为单调增函数，
故当时，
所以
【点睛】方法点睛：求函数的最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.