玉林市重点中学2026届数学高一上期末考试试题含解析.doc

玉林市重点中学2026届数学高一上期末考试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．根据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）

1
2
3
4
5

0
0.693
1.099
1.386
1.609

1
0
1
2
3
A. B.
C. D.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时,,则（　　）
A. B.
C. D.
3．已知全集，集合，，则∁U(A∪B ) =
A. B.
C. D.
4．命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数，现有下列四个结论：
①对于任意实数a，的图象为轴对称图形；
②对于任意实数a，在上单调递增；
③当时，恒成立；
④存在实数a，使得关于x的不等式的解集为
其中所有正确结论的序号是（）
A.①② B.③④
C.②③④ D.①②④
6．终边在y轴上的角的集合不能表示成
A. B.
C. D.
7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
其中正确命题的序号是（　　）
A.和 B.和
C.和 D.和
8．实验测得四组（x，y）的值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（）
A.
B.
C.
D.
9．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是

A. B.
C. D.
10．设函数与的图像的交点为，则所在的区间是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数，若函数满足对，都有，则实数的取值范围是_______.
12．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为___________.

13．已知函数，且，则a的取值范围为________f（x）的最大值与最小值和为________ .
14．若，则_____________.
15．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________

16．已知向量不共线，，若，则___
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）求使x的取值范围
18．如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）.

（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的解析式；
（3）预测当天12时的温度（，结果保留整数）.
19．设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合
若，且，求M和m的值；
若，且，记，求的最小值
20．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.
（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：
（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；
（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.
21．已知函数
（1）求的单调区间及最大值
（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】令，由表中数据结合零点存在性定理即可得解.
【详解】令，
由表格数据可得.
由零点存在性定理可知，在区间内必有零点.
故选C.
【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.
2、B
【解析】 由题意得，因为，则，
所以函数表示以为周期的周期函数，
又因为为奇函数，所以，
所以，，
，
所以，故选B.
3、C
【解析】, ,
,∁U(A∪B )=
故答案为C.
4、C
【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，选出正确选项.
【详解】因为命题是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即，.
故选：C.
5、D
【解析】根据函数的解析式，可知其关于直线，可判断①正确；是由与相加而成，故该函数为单调函数，由此可判断②;根据的函数值情况可判断③;看时情况，结合函数的单调性，可判断④的正误.
【详解】对①，因为函数与|的图象都关于直线对称，所以的图象关于直线对称，①正确
对②，当时，函数与都单调递增，所以也单调递增，②正确
对③，当时，，③错误
对④，因为图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，且，所以存在，使得的解集为，④正确
故选：D
6、B
【解析】分别写出终边落在y轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解.
【详解】终边落在y轴正半轴上的角的集合为：
，
终边落在y轴负半轴上的角的集合为：
，
故终边在y轴上的角的集合可表示成为，
故A选项可以表示；
将与取并集为：
，故C选项可以表示；
将与取并集为：
，故终边在y轴上的角的集合可表示成为，故D选项可以表示；
对于B选项，当时，或，显然不是终边落在y轴上的角；
综上，B选项不能表示，满足题意.
故选：B.
【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.
7、B
【解析】根据空间直线和平面平行、垂直的性质分别进行判断即可
【详解】①若m⊥α，n∥α，则m⊥n成立，故①正确，
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β不成立，两个平面没有关系，故②错误
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β不成立，可能m与β相交，故③错误，
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ，成立，故④正确，
故正确是①④，
故选B
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直的判定和性质，考查学生的空间想象能力
8、A
【解析】根据所给数据，求出样本中心点，把样本中心点代入所给四个选项中验证，即可得答案
【详解】解：由已知可得，
所以这组数据的样本中心点为，
因样本中心必在回归直线上，
所以把样本中心点代入四个选项中验证，可得只有成立，
故选：A.
9、B
【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，
原高为
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，

故选
10、B
【解析】根据零点所在区间的端点值的乘积小于零可得答案.
【详解】函数与的图象的交点为，可得
设,则是的零点，
由，
，
∴，
∴所在的区间是(1,2).
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先根据题意可得出函数在上单调递增；然后根据分段函数单调性的判断方法，同时结合二次函数的单调性即可求出答案.
【详解】因为函数满足对，都有，
所以函数在上单调递增.
当时，，
此时满足在上单调递增，且；
当时，，其对称轴为，
当时，上单调递增，所以要满足题意，需，
即；
当时，在上单调递增，所以要满足题意，需，
即；
当时，单调递增，且满足，所以满足题意.
综上知，实数的取值范围是.
故答案为：.
12、
【解析】计算出等边的边长，计算出由弧与所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.
【详解】设等边三角形的边长为，则，解得，
所以，由弧与所围成的弓形的面积为，
所以该勒洛三角形的面积.
故答案为：.
13、 ①. ②.2
【解析】由结合，即可求出a的取值范围；
由，知关于点成中心对称，即可求出f（x）的最大值与最小值和.
【详解】由，

，所以，则
故 a的取值范围为.
第（2）空:由，知关于点成中心对称图形，
所以.
故答案为：；.
14、
【解析】平方得
15、②③
【解析】设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误
【详解】设AC∩BD=O,如图，

①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；
②∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，②正确；
③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC，③正确；
④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，
∴PD2+CD2=PC2，
∴④△PCD为直角三角形，④错误，
故答案为：②③
16、
【解析】由，将表示为的数乘，求出参数
【详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得
【点睛】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）定义域为，奇函数；（2）
【解析】（1）只需解不等式组即可得出f（x）的定义域；求f（﹣x）即可得到f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（2）讨论a：a＞1，和0＜a＜1，根据f（x）的定义域及对数函数的单调性即可求得每种情况下原不等式的解
详解】解：（1）要使函数（且）有意义，
则，解得
故函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以，为奇函数
（2）由，即，
当时，原不等式等价为，解得当，原不等式等价为，解得
又因为的定义域为，所以，当时，使的x的取值范围是．当时，使的x的取值范围是
18、（1）20℃；
（2）()；
（3）27℃.
【解析】（1）观察图象求出函数的最大、最小值即可计算作答；
（2）根据给定图象求出解析式中相关参数，即可代入作答；
（3）求出当时的y值作答.
【小问1详解】
观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃，
所以这一天6~14时的最大温差为20℃.
【小问2详解】
观察图象，由解得：，周期，，即，则，
而当时，，则，又，有，
所以这段曲线的解析式为：，.
小问3详解】
由（2）知，当时，，
预测当天12时的温度为27℃.
19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（1）由……………………………1分
又
…………………3分 …………4分

……………………………5分
……………………………6分
（2） x=1
∴，即 ……………………………8分
∴f（x）=ax2+（1-2a）x+a, x∈[-2,2] 其对称轴方程为x=
又a≥1，故1-……………………………9分
∴M=f（-2）="9a-2 " …………………………10分
m= ……………………………11分
g（a）=M+m=9a--1 ……………………………14分
= ………16分
20、（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）或.
【解析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.
(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.
(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.
【小问1详解】
假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，
所以函数不 “自均值函数”.
【小问2详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，
当时，而，则，
若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，
于是得，，要在的值域包含，
则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，
从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，存在，对于，存在，有，即，
当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，
当，即时，，，，，
由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；
综上得：或，
所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.
【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.
21、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
【解析】（1）首先确定的定义域，将其整理为，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值；
（2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为，采用分离变量法可得，结合对勾函数单调性可求得，由此可得结果.
【小问1详解】
由得：，的定义域为；
，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
由单调性可知：.
【小问2详解】
在上恒成立，，
即，在上恒成立，
；
令，则在上单调递增，在上单调递减，
，，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数单调性和最值的求解、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够将对数函数值之间的大小关系转化为一元二次不等式在区间内恒成立问题的求解，进而可采用分离变量的方法或讨论二次函数图象的方式来进行求解.