2026届河南省开封十中数学高一上期末达标测试试题含解析.doc

2026届河南省开封十中数学高一上期末达标测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，且，则的值为（　　）
A.1 B.2
C. D.3
2．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α=，则点P的坐标为　(　　)
A.(1，) B.(，1)
C.() D.(1，1)
4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5．已知的三个顶点、、及平面内一点满足，则点与的关系是（）
A.在的内部 B.在的外部
C.是边上的一个三等分点 D.是边上的一个三等分点
6．已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（）
A.或 B.
C.或 D.
8．已知集合A={x|x＜2}，B={x≥1}，则A∪B=（　　）
A. B.
C. D.R
9．已知，，，则a、b、c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为________

12．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是__________
13．若实数x，y满足，则的最小值为___________
14．已知，且，写出一个满足条件的的值___________
15．已知= ，则 =_____.
16．已知表示不超过实数的最大整数，如，，为取整函数，是函数的零点，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算下列各题：
（1）；
（2）.
18．已知函数（且）的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式.
19．观察下列各等式：，，.
（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；
（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.
20．已知集合，关于的不等式的解集为
（1）求；
（2）设，若集合中只有两个元素属于集合，求的取值范围
21．如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.
（Ⅰ）求与的数量积；
（Ⅱ）求与的数量积.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解
【详解】由题意可得 ，即
∴，
故选A
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切
2、B
【解析】根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答.
【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，
因存在实数，使得，则，
因此，，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
3、D
【解析】设出P点坐标（x，y），利用正弦函数和余弦函数的定义结合的三角函数值求得x，y值得答案
【详解】设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得
即
故点P的坐标为(1，1).
故选D
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题
4、A
【解析】先由题意，求出函数的单调递减区间，再由题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】由题意，令，
则，
即函数的单调递减区间为
，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，
所以，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是用不等式法求函数的单调递减区间时，应该令，且该函数的周期应为，则.
5、D
【解析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论
【详解】解：，
，
∴是边上的一个三等分点
故选：D
【点睛】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件，属于基础题
6、A
【解析】先判断“”成立时，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.
【详解】“”成立时，，故“”成立，
即“”是“”的充分条件；
“”成立时，或，此时推不出“”成立，
故“”不是“”的必要条件，
故选：A.
7、B
【解析】由题意可得，解不等式即可求出结果.
【详解】关于的一元二次不等式的解集为，
所以，解得，
故选：B.
8、D
【解析】利用并集定义直接求解即可
【详解】∵集合A={x|x＜2}，B={x≥1}， ∴A∪B=R.
故选D
【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
9、D
【解析】借助中间量比较即可.
详解】解：根据题意，，，，
所以
故选：D
10、B
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.
【考点定位】三视图与几何体的体积

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设实数x∈[1,9]，
经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，
经过第二循环得到x=2(2x+1)+1，n=3，
经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1，n=4此时输出x，
输出的值为8x+7，
令8x+7⩾55，得x⩾6，
由几何概型得到输出的x不小于55的概率为.
故答案为.
12、
【解析】若任意，存在，使得成立，
只需，
∵，在该区间单调递增，即，
又∵，在该区间单调递减，即，
则，，
13、
【解析】由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案
【详解】由题意，
得：，
则（当且仅当时，取等号）
故答案为：
14、π（答案不唯一）
【解析】利用，可得，又，确定可得结果.
【详解】因为，所以，，则，或，，又 ，故满足要求
故答案为：π（答案不唯一）
15、##0.6
【解析】寻找角之间的联系，利用诱导公式计算即可
【详解】
故答案为：
16、2
【解析】由于，所以，故.
【点睛】本题主要考查对新定义概念的理解，考查利用二分法判断函数零点的大概位置.首先研究函数，令无法求解出对应的零点，考虑用二分法来判断，即计算，则零点在区间上.再结合取整函数的定义，可求出的值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用指对幂运算性质化简求值；
（2）利用对数运算性质化简求值.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式

.
18、（1）
（2）
【解析】（1）把已知点的坐标代入求解即可；
（2）直接利用函数单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件
【小问1详解】
因为函数（且）的图象过点.
，所以，即；
【小问2详解】
因为单调递增，所以，
即不等式的解集是
19、（1）
（2）证明见详解
【解析】（1）利用第三个式子，结合特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）用两角和正弦公式展开，代入化简，结合，即得解
【小问1详解】
由题意，
【小问2详解】
根据题干中各个式子的特点，猜想等式：
证明：左边

即得证
20、（1）或；（2）.
【解析】（1）解分式不等式得集合A，解绝对值不等式得集合B，由集合的补运算和交运算的定义可得结论；
（2）由（1）知集合P＝｛－2，2，3｝，而集合Q中最大与最小值差为2，因此只有2，3是集合Q中的元素，从而得关于m的不等式，可得m的范围
试题解析：
（1）

或
(2)
∵可知P中只可能元素2，3属于Q

解得
21、 (Ⅰ)-18；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得．(Ⅱ)根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到．设设，则得到，，根据数量积的定义及运算率可得所求
试题解析：
（Ⅰ）在中，
由余弦定理得，
所以，
所以是等腰三角形，且，
所以,
所以
（Ⅱ）由,
得，
所以点在的角平分线上，
又因为点是边上的一点，
所以由角平分线性质定理得，
所以.
因为，
所以.
设，
则，
由，得，
所以，
又，
所以

点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：
（1）在中，若或，则点是的外心；
（2）在中，若，则点是的重心；
（3）在中，若，则直线一定过的重心；
（4）在中，若，则点是的垂心；
（5）在中，若，则直线通过的内心.