2025-2026学年江西省九江市第一中学高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年江西省九江市第一中学高一上数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是　　
A. B.
C. D.
2．已知点，向量，若，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
3．设，且，下列选项中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
5．设，，定义运算“△”和“”如下：，.若正数，，，满足，，则（）
A.△，△ B.，
C.△， D.，△
6．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）
A.100 B.
C.50 D.
7．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，BD交CE于F，则=（　　）
A. B.
C. D.
8．已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是
A. B.
C. D.
9．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）
A.1 B.-1
C. D.
10．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义在上的奇函数，且，则________，________.
12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______
13．已知函数则的值为_______
14．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆标准方程为_____________________.
15．过正方体的顶点作直线，使与棱、、所成的角都相等，这样的直线可以作_________条.
16．已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
18．已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围.
19．已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为；_______________；
（Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20．函数的部分图象如图所示.

（1）求、及图中的值；
（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值
21．已知函数
（1）求的对称轴方程；
（2）若在上，函数最小值为且有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围
【详解】解：函数，的图象如图：
关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，
方程化为：，，
，开口向下，对称轴为：，
可知：的最大值为：，
的最小值为：2

故选：

【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题
2、B
【解析】设点坐标为，利用向量的坐标运算建立方程组，解之可得选项.
【详解】设点坐标为，，A，所以，
又，，
所以.解得，解得点坐标为.
故选：B.
3、D
【解析】举出反例即可判断AC，根据不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.
【详解】解：对于A，当时，不成立，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，所以，，
所以，即，故D正确.
故选：D.
4、C
【解析】根据交集定义即可求出.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
5、D
【解析】根据所给运算，取特殊值检验即可排除ACB，得到答案.
【详解】令
满足条件，
则，可排除A,C；
令满足。
则，排除B;
故选：D
6、D
【解析】利用向量的平行四边形法则求解即可
【详解】
如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，
根据向量的平行四边形法则，

故选：D
7、A
【解析】利用向量加法法则把转化为，再利用数量关系把化为，从而可表示结果.
【详解】解：
如图，∵平行四边形ABCD中，E为AB中点，
∴，
∴DF，
∴

，
故选A
【点睛】此题考查了向量加减法则，平面向量基本定理，难度不大
8、B
【解析】∵在上是增函数，且，中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；
即：；或
由于实数是函数的一个零点，
当时，
当 时，
故选B
9、D
【解析】利用三角函数的坐标定义求出，即得解.
【详解】由题得.
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10、D
【解析】根据圆心在直线上，设圆心坐标为，然后根据圆C与直线及都相切，由求解.
【详解】因为圆心在直线上，
设圆心坐标为，
因为圆C与直线及都相切，
所以，
解得，
∴圆心坐标为，
又，
∴，
∴圆的方程为，
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.1 ②.0
【解析】根据函数的周期性和奇偶性，结合已知条件，代值计算即可.
【详解】因为满足，且，且其为奇函数，
故；
又，故可得，
又函数是定义在上的奇函数，故，又，
故.
故答案为：1；0.
12、
【解析】令，转化条件为方程有解，运算可得
【详解】令，则，
化简得，
所以，解得或（舍去），
当时，，符合题意，
所以得最小值为.
故答案为：.
13、
【解析】首先计算，再求的值.
【详解】，
所以.
故答案为：
14、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径
15、
【解析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数
【详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1
第一条：AC1是满足条件的直线；
第二条：延长C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是满足条件的直线；
第三条：延长C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是满足条件的直线；
第四条：延长C1A1到C4且C4A1，AC4是满足条件的直线

故答案为4
【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题
16、
【解析】本题首先可根据函数解析式得出函数在区间和上均有两个零点，然后根据在区间上有两个零点得出，最后根据函数在区间上有两个零点解得，即可得出结果.
【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根；
当时，令，得，该方程至多两个根，
因为函数恰有4个不同的零点，
所以函数在区间和上均有两个零点，
函数在区间上有两个零点，
即直线与函数在区间上有两个交点，
当时，；
当时，，此时函数的值域为，
则，解得，
若函数在区间上也有两个零点，
令，解得，，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，考查函数最值的应用，考查推理能力与计算能力，考查分类讨论思想，是难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据指数运算法则化简求值；
（2）根据指数、对数的运算法则化简求值.
【小问1详解】

【小问2详解】

18、（1）；
（2）.
【解析】（1）由对数函数的性质可得，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解.
（2）由题设有在上恒成立，判断的单调性并确定其值域，即可求k的范围.
【小问1详解】
由题设，令，则，
∴，可得或（舍），
∴，故的零点为.
【小问2详解】
由，则，即在上恒成立，
∵在上均递减，
∴在上递减，则，
∴k的取值范围为.
19、（Ⅰ）选①或②或③，；（Ⅱ）当或时，线段的长取到最大值.
【解析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出.
选①，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
选②，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
选③，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
（Ⅱ）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值.
【详解】（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.
若选①，则函数的一条对称轴，则，
得，，当时，，
此时，；
若选②，则函数的一个对称中心，则，
得，，当时，，
此时，；
若选③，则函数的图象过点，则，
得，，，
，解得，此时，.
综上所述，；
（Ⅱ）令，，
，，当或时，即当或时，
线段的长取到最大值.
【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
20、（1），，；（2），.
【解析】（1）由可得出，结合可求得的值，由结合可求得的值，可得出函数的解析式，再由以及可求得的值；
（2）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由题图得，，，，
又，，得，，
又，得，.
又，且，，
，得，
综上所述: ，，；
（2），
，，
所以当时，；当时，
【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数解析式中的参数，同时也考查了正弦型函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
21、（1），；
（2）.
【解析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据余弦函数的性质求的对称轴方程.
（2）由题设可得，画出的图象，进而由已知条件及数形结合思想求m的取值范围
【小问1详解】
由题设，，
令，，可得，.
∴的对称轴方程为，.
【小问2详解】
令，在上，而时有，且图象如下：

又最小值为且有两个不相等的实数根，
由上图知：，可得.