2026届湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学湘江校区数学高一第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2026届湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学湘江校区数学高一第一学期期末统考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则　　
A. B.
C. D.
2．已知正弦函数f(x)的图像过点,则的值为(　　)
A.2 B.
C. D.1
3．已知，则的值为（ ）
A B.1
C. D.
4．下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（）
A. B.
C. D.
5．已知是减函数，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则

A. B.
C. D.
7．已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．根据表格中的数据， 可以判定函数的一个零点所在的区间为．

A. B.
C. D.
9．计算（）
A. B.
C. D.
10．已知，则的最大值为（ ）
A. B.
C.0 D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）
①；②.
12．在中，，，，若将绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________

13．已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
14．符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，则下列命题中正确是________.
①函数最大值为；
②函数的最小值为；
③函数有无数个零点；
④函数是增函数；
15．在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为_______.
16．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气的温度是θ0℃，那么t后物体的温度θ（单位：）可由公式（k为正常数）求得.若，将55的物体放在15的空气中冷却，则物体冷却到35所需要的时间为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合
（1）若集合，写出和集合；
（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质
①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；
②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值
18．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
19．在某单位的食堂中，食堂每天以元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了80斤米粉，以（单位：斤）（其中）表示米粉的需求量，（单位：元）表示利润.
(Ⅰ)计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；
(Ⅱ)将表示为的函数；
（Ⅲ）根据直方图估计该天食堂利润不少于760元的概率.

20．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
21．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018

投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)
（1）选择一个恰当函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可
【详解】因为，，
所以，
故选C
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
2、C
【解析】由题意结合诱导公式有：
.
本题选择C选项.
3、A
【解析】知切求弦，利用商的关系，即可得解.
【详解】，
故选：A
4、B
【解析】利用二分法求函数零点所满足条件可得出合适的选项.
【详解】观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点
故选：B.
5、D
【解析】利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
【详解】因函数是定义在上的减函数，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
6、C
【解析】根据题意即可算出每个直角三角形面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出
【详解】由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有
，所以，所以
，选C.
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题
7、C
【解析】详解】分析：求解出集合，得到，即可得到答案
详解：由题意集合，，
则，所以，故选C
点睛：本题考查了集合的混合运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力
8、D
【解析】函数，满足.
由零点存在定理可知函数的一个零点所在的区间为.
故选D.
点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.
9、A
【解析】利用正切的诱导公式即可求解.
【详解】，
故选：A.
10、C
【解析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.
【详解】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可
【详解】由知函数的周期是，
则满足条件，
，满足条件，
故答案为：（答案不唯一）
12、
【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，

所以OA=，OB=1
所以旋转体的体积:
故答案为．
13、8
【解析】根据，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
当且仅当，即时，取等号，
所以xy的最大值为8.
故答案为：8.
14、②③
【解析】利用函数中的定义结合函数的最值、周期以及单调性即可求解.
【详解】函数，
函数的最大值为小于，故①不正确；
函数的最小值为，故②正确；
函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；
由函数图像，结合函数单调性定义可知，函数在定义域内不单调，

故④不正确；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是取整函数问题，在解答时要充分理解的含义，注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析，属于基础题.
15、
【解析】先根据弧度的定义求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形的面积.
【详解】设扇形的弧长为
根据弧度定义可知
则
由扇形面积公式
代入可得
故答案为:
【点睛】本题考查了弧度的定义,扇形面积的求法,属于基础题.
16、2
【解析】将数据，，，代入公式，得到，解指数方程，即得解
【详解】将，，，
代入得，
所以，
，
所以，
即.
故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；
（2）①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、.
【解析】（1）根据题中定义可写出与；
（2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；
（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解.
【小问1详解】
解：由题中定义可得，.
【小问2详解】
解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下：
因为，所以
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
综上可得，集合具有性质；
（ⅱ）设集合，不妨设
因为为正整数，所以，
因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且，
所以．所以
因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且，
所以，所以
若，则、、，而，
所以不存在，使得，所以
若，则、、，而，
所以不存在，使得，所以
同理可知，，
若，则，所以
当时，若，
则取，可知不存在，使得，
所以，解得
又因为，所以
经检验，当、、、、时，集合符合题意
所以最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.
18、 (I) .(II)
【解析】解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：
红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，
红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故
所求的概率为.
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，
多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，
其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，
所以概率为.
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题
19、 (1) 平均数为75.5，众数为75，中位数为75.
(2).
(3) 该天食堂利润不少于760元的概率为0.65.
【解析】由频率分布直方图的数值计算可得平均数，众数，中位数
由题意，当时，求出利润，当时，求出利润，由此能求出关于的函数解析式
设利润不少于元为事件，利润不少于元时，即，再根据直方图利用概率计算公式求出对应的概率
【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图知

,故中位数位于（70.，80）设为x,则（x-70）
所以平均数为75.5，众数为75，中位数为75.
(Ⅱ)一斤米粉的售价是元.
当时，
当时，
故
（Ⅲ）设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.
解得，即.由直方图可知，当时，

故该天食堂利润不少于760元的概率为0.65.
【点睛】本题主要考查了样本估计总体和事件与概率，只要能读懂条形统计图，然后进行计算即可，较为基础
20、（1）（2）
【解析】（1）根据诱导公式化简；（2）巧用平方关系进行代换，再利用商数关系将原式转化为用表示，结合第1问解答
【详解】（1）
（2）
将代入，得.
【点睛】三角函数式的化简要求熟记相关公式，同角三角函数基本关系平方关可实现正弦和余弦的互化，要注意公式的逆使用，商数关系可实现正弦、余弦和正切的互化
21、（1）可用③来描述x，y之间的关系，y＝log2(x－1)；（2）该企业要考虑转型.
【解析】（1）把(3，1)，(5，2)分别代入三个函数中，求出函数解析式，然后再把x＝9代入所求的解析式中，若y＝3，则选择此模型；
（2）由（1）可知函数模型为y＝log2(x－1)，令log2(x－1)>6，则x>65，再由 与比较，可作出判断.
【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本x的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意
将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得
∴.
当时，，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得解得∴y＝log2(x－1)
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．（也可通过画散点图或不同增长方式选择）
（2）令log2(x－1)≥6，则x≥65.
∵年利润＜10%，∴该企业要考虑转型