2025年江苏省南京市溧水区三校数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年江苏省南京市溧水区三校数学高一第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ）
A.平均数＝第60百分位数＞众数 B.平均数＜第60百分位数＝众数
C.第60百分位数＝众数＜平均数 D.平均数＝第60百分位数＝众数
2．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，弧AD长度为弧BC长度的3倍，且，则该曲池的体积为（）

A B.
C. D.
3．已知，且满足，则值
A. B.
C. D.
4．已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5．方程的实数根所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
6．设则（ ）
A. B.
C. D.
7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象
A.向左平行移动个单位 B.向左平行移动个单位
C.向右平行移动个单位 D.向右平行移动个单位
8．已知，，，则、、的大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．若,,,则大小关系为
A. B.
C. D.
10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度（单位：m/s）与其耗氧量之间的关系为（其中、是实数）．据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为18m/s，则________；若这种候鸟飞行的速度不能低于60 m/s，其耗氧量至少要________个单位.
12．已知函数
（1）利用五点法画函数在区间上的图象

（2）已知函数，若函数的最小正周期为，求的值域和单调递增区间；
（3）若方程在上有根，求的取值范围
13．设函数的定义域为D，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“T—单调增函数”
对于“T—单调增函数”，有以下四个结论：
①“T—单调增函数”一定在D上单调递增；
②“T—单调增函数” 一定是“—单调增函数” （其中，且）：
③函数是“T—单调增函数”（其中表示不大于x的最大整数）；
④函数不“T—单调增函数”
其中，所有正确的结论序号是______
14．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是__________
15．若，且，则的值为__________
16．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3:2，则全校抽取学生数为________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线：，直线：.
（1）若，求与的距离；
（2）若，求与的交点的坐标.
18．已知，，，.
（1）求和的值；
（2）求的值.
19．已知函数.
（1）求的值；
（2）设，求的值.
20．已知的三个顶点
（1）求边上高所在直线的方程；
（2）求的面积
21．已知向量，，若存在非零实数，使得，，且，试求：的最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.
【详解】解：平均数为，
，第5个数50即为第60百分位数.
又众数为50，
它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.
故选：B.
2、B
【解析】利用柱体体积公式求体积.
【详解】不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍可知，，即.故该曲池的体积.
故选：B
3、C
【解析】由可求得，然后将经三角变换后用
表示，于是可得所求
【详解】∵,
∴,
解得或
∵,
∴
∴
故选C
【点睛】对于给值求值的问题，解答时注意将条件和所求值的式子进行适当的化简，然后合理地运用条件达到求解的目的，解题的关键进行三角恒等变换，考查变换转化能力和运算能力
4、A
【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，即，∴
故选：A
5、B
【解析】令，因为，且函数在定义域内单调递增，故方程的解所在的区间是，故选B.
6、D
【解析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案
【详解】由指数、对数函数的性质可知：，，
所以有.
故选：D
7、B
【解析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论
【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，
∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位
故选B
【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）图象变换规律的简单应用，属于基础题
8、C
【解析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：C.
9、D
【解析】取中间值0和1分别与这三个数比较大小，进而得出结论
【详解】解：，，，
，
故选：D.
【点睛】本题主要考查取中间值法比较数的大小，属于基础题
10、D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①.6 ②.10240
【解析】
由初始值解出的值，然后令，可得出的取值范围，由此得出候鸟在飞行时速度不低于时的最低耗氧量.
【详解】由题意，知，解得，所以，
要使飞行速度不能低于，则有，即，即，
解得，即，所以耗氧量至少要个单位.
故答案为：6；10240
【点睛】本题考查对数的应用，解题的关键就是要利用题中数据解出函数解析式，利用题意列出不等式进行求解.
12、（1）（2）的值域为，单调递增区间为；
（3）
【解析】（1）取特殊点，列表，描点，连线，画出函数图象；（2）化简得到的解析式，进而求出值域，整体法求解单调递增区间；（3）整体法先得到，换元后得到在上有根，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
作出表格如下：
x

0

0
2
0
-2
0
在平面直角坐标系中标出以下五点，，，，，，用平滑的曲线连接起来，就是函数在区间上的图象，如下图：
【小问2详解】
，其中，由题意得：，解得：，故，故的值域为，令，解得：，所以的单调递增区间为：
【小问3详解】
因为，所以，则，令，则，所以方程在上有根等价于在上有根，因为，所以，解得：，故的取值范围是.
13、②③④
【解析】①③④选项可以举出反例；②可以进行证明.
【详解】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误；
②因为是单调增函数，所以存在，使得对于任意，都有，因为，，所以，故，即存在实数，使得对于任意，都有，故是单调增函数，②正确；
③，定义域为，当时，对任意的，都有，即成立，所以是单调增函数，③正确；
④当时，，若，则，显然不满足，故不是单调增函数，④正确.
故答案为：②③④
14、
【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足
，解得，
∴实数的取值范围是
答案：
点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围
15、
【解析】∵且,∴，
∴，
∴cosα+sinα=0,或cosα−sinα= (不合题意,舍去)，
∴，
故答案为−1.
16、80
【解析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可
【详解】根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0125+0.0375）×5=0.25
∵从左到右前三个小组频率之比1：2：3，第二小组频数为12
∴前三个小组的频数为36，从而男生有人
∵全校男、女生比例为3：2，
∴全校抽取学生数为48× =80
故答案为80
【点睛】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) .
(2).
【解析】分析：（1）先根据求出k的值，再利用平行线间的距离公式求与的距离.(2)先根据求出k的值，再解方程组得与的交点的坐标.
详解：（1）若，则由，即，解得或.
当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合，故舍去；
当时，直线：，直线：，所以.
（2）若，则由，得.
所以两直线方程为：，：，
联立方程组，解得，所以与的交点的坐标为.
点睛：（1）本题主要考查直线的位置关系和距离的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)直线与直线平行，则且两直线不重合.直线与直线垂直，则.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由二倍角公式得，结合和解方程即可；
（2）依次计算和的值，代入求解即可.
试题解析：
（1）由，得，
因为，所以，
又，所以，所以 .
（2）因为，所以，所以，
于是，
又，所以，
由（1），所以.
19、（1）；（2）
【解析】（1）直接带入求值；
（2）将和直接带入函数，会得到和的值，
然后根据的值
试题解析：解：（1）
（2）

考点：三角函数求值
20、 (1) ；⑵8.
【解析】（1）设BC边的高所在直线为l，由斜率公式求出KBC，根据垂直关系得到直线l的斜率 Kl，用点斜式求出直线l的方程，并化为一般式
（2）由点到直线距离公式求出点A（﹣1，4）到BC的距离d，由两点间的距离公式求出|BC|，代入△ABC的面积公式求出面积S的值
试题解析：
(1)设边上高所在直线为，
由于直线的斜率
所以直线的斜率.
又直线经过点，
所以直线的方程为，
即
⑵边所在直线方程为：
,即
点到直线的距离
，
又
.
21、
【解析】根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出，且，由此将化简整理得到．将此代入，可得关于的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到的最小值
【详解】解：，，
，，且
，，且，
，即，即，即，将、和代入上式，可得
，整理得，因为，为非零实数，所以且，

由此可得，当时，的最小值等于