2025-2026学年北京二十中数学高一第一学期期末调研试题含解析.doc

2025-2026学年北京二十中数学高一第一学期期末调研试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等腰直角三角形的直角边的长为4，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（　　）

A. B.
C. D.
3．函数的零点所在区间是　　
A. B.
C. D.
4．下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
5．已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是　　
A. B.
C. D.
6．下列说法中，错误的是（ ）
A.若，，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
7．三个数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8．已知集合， ，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．将一个直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为（ ）
A.一个圆台 B.两个圆锥
C.一个圆柱 D.一个圆锥
10．下列命题中，真命题是．
A.xR，x2＋1＝x B.xR，x2＋1＜2x
C.xR，x2＋1＞x D.xR，x2＋2x＞1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，是方程的两根，则__________
12．函数定义域为________.（用区间表示）
13．若“”为假命题，则实数m最小值为___________.
14．计算：__________．
15．已知，，，则___________.
16．已知集合，，则=______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，
（Ⅰ）求函数在R上的解析式；
（Ⅱ）若，函数，是否存在实数m使得的最小值为，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由
18．如图，已知点，是以为底边的等腰三角形，点在直线:上

（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的面积
19．已知角的终边有一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.
（1）求M；
（2）若，对，有，求t的最小值.
21．已知，，且.
（1）求的值；
（2）求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】如图
为等腰直角三角形旋转而成的旋转体
这是两个底面半径为，母线长4的圆锥，
故S=2πrl=2π××4=
故答案为D.
2、B
【解析】根据图像得到，，计算排除得到答案.
【详解】根据图像知
选项：，排除；
D选项： ，排除；
根据图像知
选项：，排除；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.
3、C
【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵，，
∴，
∴函数在区间(2,3)上存在零点
故选C
【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件
4、B
【解析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.
【详解】函数、在区间上为减函数，
函数在区间上为增函数，
函数在区间上不单调.
故选：B.
5、A
【解析】由题意，设，则，又由，求得，得t值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案
【详解】根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，
则为常数，设，则，
又由，即，则有，解可得，则，
若，即，则，
若，必有，
则有，又由，则，
解可得，即，所以，
故选A
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题
6、A
【解析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.
【详解】对A，取，所以，故错误；
对B，由，，所以，故正确；
对C, ，
由，，所以，所以，故正确；
对D，由，所以，又，所以
故选：A
7、A
【解析】利用指数函数、对数函数、正弦函数的单调性结合中间量法即可求解
【详解】解：，
，
，

故选：A
8、A
【解析】集合表示到的线段，集合表示过定点的直线，，说明线段和过定点的直线有交点，由此能求出实数的取值范围
【详解】由题意可得，集合表示到的线段上的点，集合表示恒过定点的直线.
∵
∴线段和过定点的直线有交点
∴根据图像得到只需满足，或
故选A．
【点睛】本题考查交集定义等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解答本题的关键是理解集合表示到的线段，集合表示过定点的直线，再通过得出直线与线段有交点，通过对应的斜率求解.
9、D
【解析】依题意可知，这是一个圆锥.
10、C
【解析】根据全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用，即可求解.
【详解】对于A中，，所以，所以不正确；
对于B中，，所以，所以不正确；
对于C中，，所以，所以正确；
对于D中，，所以不正确，
故选C.
【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的真假判定，其中解答中正确理解全称命题和特称命题的含义，以及不等式性质的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】将所求式利用两角和的正弦与两角差的余弦公式展开，然后根据商数关系弦化切，最后结合韦达定理即可求解.
【详解】解：因为，是方程的两根，
所以，
所以，
故答案为：.
12、
【解析】由对数真数大于0，偶次根式被开方式大于等于0，列出不等式组求解即可得答案.
【详解】解：由，得，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
13、
【解析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出的取值范围即可
【详解】解：命题“，有”是假命题，
它否定命题是“，有”，是真命题，
即，恒成立，所以，
因为，在上单调递减，上单调递增，又，，所以
所以，
的最小值为，
故答案为：
14、4
【解析】
故答案为4
15、
【解析】由已知条件结合所给角的范围求出、，再将
展开即可求解
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以

，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知角的三角函数值的符号确定角的范围进而可求角的正弦或余弦，将所求的角用已知角表示即.
16、{-1,1,2}；
【解析】=={-1,1,2}

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在实数使得的最小值为
【解析】Ⅰ根据奇函数的对称性进行转化求解即可
Ⅱ求出的表达式，利用换元法转化为一元二次函数，通过讨论对称轴与区间的关系，判断最小值是否满足条件即可
【详解】Ⅰ若，则，
∵当时，且是奇函数，
∴当时，，
即当时，，
则
Ⅱ若，
，
设，∵，∴，
则等价为，
对称轴为，
若，即时，在上为增函数，此时当时，最小，
即，即成立，
若，即时，在上为减函数，此时当时，最小，
即，此时不成立，
若，即时，在上不单调，此时当时，最小，
即，
此时在时是减函数，当时取得最小值为，即此时不满足条件
综上只有当才满足条件
即存在存在实数使得最小值为
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用换元法转化为一元二次函数，结合一元二次函数单调性的性质是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度
18、解：（Ⅰ） x－y－1＝0；（Ⅱ）2
【解析】（1）由题意，求得直线的斜率，从而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程；
（2）由，求得，利用两点间的距离公式和三角形的面积公式，即可求得三角形的面积.
试题解析：
（Ⅰ）由题意可知，为的中点，
∴，且，
∴所在直线方程为，
即.
（Ⅱ）由得
∴
∴,
∴
∴
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据终边上的点及正切函数的定义求即可.
（2）利用诱导公式及商数关系，将目标式化为，结合（1）的结果求值即可.
【小问1详解】
由题设及正切函数的定义，.
【小问2详解】
.
20、（1）
（2）1
【解析】（1）分类讨论即可求得实数a的所有取值构成的集合M；
（2）先求得的最大值2，再解不等式即可求得t的最小值.
【小问1详解】
当时，满足题意；
当时，要使不等式的解集为R，
必须，解得，
综上可知，所以
【小问2详解】
∵，∴，
∴，（当且仅当时取“=”）
∴，
∵，有，∴，
∴，∴或，
又，∴，∴ t的最小值为1.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求；
（2）先根据，，求出，再根据求解即可.
【详解】（1）∵且，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，

，
所以.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.