湖南省长沙市开福区长沙一中2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

湖南省长沙市开福区长沙一中2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）

A.②①③④ B.②③①④
C.④①③② D.④③①②
2．已知是上的奇函数，且当时，，则当时，（）
A. B.
C. D.
3．已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（）
A. B.
C. D.
4．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）
A. B.
C. D.
5．在中，满足，则这个三角形是（）
A.正三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
6．下列命题正确的是
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7．已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．设，给出下列四个结论：
①；②；③；④.
其中所有的正确结论的序号是
A.①② B.②③
C.①②③ D.②③④
9．函数（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，）的部分图象如图所示，则（　　）

A. B.
C. D.
10．已知函数（ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　）
A.6 B.7
C.8 D.9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：
（1）a∥α，b∥β，则a∥b；
（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；
（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；
（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；
其中正确命题是__
12．已知函数的值域为，则实数的取值范围是________
13．若关于的不等式的解集为，则实数__________
14．若，则________
15．若，则______.
16．圆在点P（1，）处的切线方程为_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，（，，）图象的一部分如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域.
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调减区间；
（3）当时，画出函数的图象.
19．已知函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象.若在上至少有个零点，求的最小值.
20．（1）已知，求；
（2）已知，，，是第三象限角，求的值.
21．已知函数，.
（1）求函数图象的对称轴的方程；
（2）当时，求函数的值域；
（3）设，存在集合，当且仅当实数，且在时，不等式恒成立．若在（2）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据指数函数、幂函数的性质进行选择即可.
【详解】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；
②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；
③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；
④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，
故选：D
2、B
【解析】设，则，求出的解析式，根据函数为上的奇函数，即可求得时，函数的解析式，得到答案.
【详解】由题意，设，则，则，
因为函数为上的奇函数，则，
得，
即当时，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3、D
【解析】求出，由三角函数定义求得，再由诱导公式得结论
【详解】依题有，∴，∴.
故选：D
4、D
【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】若，则，所以，，，ABC均错；
因为，则，因为，则，即.
故选：D.
5、C
【解析】由可知与符号相同,且均为正,则,即,即可判断选项
【详解】由题,因为,所以与符号相同,
由于在中,与不可能均为负,所以,,
又因为,
所以,即,所以,
所以三角形是锐角三角形
故选：C
【点睛】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号
6、C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
7、A
【解析】由复合函数在上的单调性可构造不等式求得，结合已知可知；当时，，若，可知无最大值；若，可得到，解不等式，与的范围结合可求得结果.
【详解】在上为减函数，解得：

当时，，此时
当，时，在上单调递增
无最大值，不合题意
当，时，在上单调递减
若在上有最大值，解得：
，又
故选
【点睛】本题考查根据复合函数单调性求解参数范围、根据分段函数有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式得到处于不同范围时在区间内的单调性，进而根据函数有最值构造不等式；易错点是忽略对数真数大于零的要求，造成范围求解错误.
8、B
【解析】因为，所以①为增函数，故=1，故错误
②函数为减函数，故，所以正确
③函数为增函数，故，故，故正确
④函数为增函数，，故，故错误
点睛：结合指数函数、对数函数、幂函数单调性可以逐一分析得出四个结论的真假性.
9、B
【解析】根据函数图像易得，，求得，再将点代入即可求得得值.
【详解】解：由图可知，
，则，所以，
所以，
将代入得，
所以，
又，
所以.
故选：B.
10、B
【解析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可
【详解】解：对任意，都有，
为函数的最大值，则，，
得，，
在区间，上不单调，
，
即，即，得，
则当时，最小.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②
【解析】对于①，，则，位置关系不确定，的位置关系不能确定；对于②，由垂直于同一平面的两直线平行知，结论正确；对于③，，则或；对于④，，则或，故答案为②.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
12、
【解析】将题意等价于的值域包含，讨论和结合化简即可.
【详解】解：要使函数的值域为
则的值域包含
①当即时，值域为包含，故符合条件
②当时
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】一元二次不等式常考题型：
（1）一元二次不等式在上恒成立问题：解决此类问题常利用一元二次不等式在上恒成立的条件，注意如果不等式恒成立，不要忽略时的情况.
（2）在给定区间上的恒成立问题求解方法：
若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
13、
【解析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合解得参数a即可.
【详解】关于的不等式的解集为，
则方程的两根为，则，
则由，得，即，
故.
故答案为：.
14、##0.5
【解析】利用诱导公式即得.
【详解】∵，
∴.
故答案为：.
15、
【解析】根据指对互化，指数幂的运算性质，以及指数函数的单调性即可解出
【详解】由得，即，解得
故答案为：
16、x－y＋2＝0
【解析】圆，
点在圆上，
∴其切线方程为，
整理得：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】（1）根据函数的最大值得到，根据周期得到，根据得到，从而得到.
（2）首先根据题意得到，再根据，利用正弦函数图象性质求解值域即可.
【详解】（1）因为，，所以.
又因为，所以，即，.
因为，，，
所以，又因为，所以，.
（2）
.
因为，所以，
所以，即，
故函数的值域为.
18、（1）；（2）；（2）详见解析.
【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角法得到函数为，再利用周期公式求解；
所以函数的周期为；
（2）令，利用正弦函数的性质求解；
（3）由列表，利用“五点法”画出函数图象.：
【详解】（1），
，
，
所以函数的周期为；
（2）令，
解得，
所以函数的单调减区间是；
（3）由列表如下：

0

x

y
0
-2
0
2
0
则函数的图象如下：
.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用正余弦的倍角公式，结合辅助角公式化简为标准正弦型三角函数，根据周期求得参数，再求其单调区间即可；
（2）根据函数图像的平移求得的解析式，根据零点个数，即可求得参数的范围.
【详解】（1）

函数最小正周期为，
则，则，
所以，
令，
解得，
则函数的单调递增区间为.
（2）由题意：，令，
得或.
所以在每个周期上恰好有两个零点，
若在上至少有个零点，
应该大于等于第个零点的横坐标，
则.
【点睛】本题考查利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简三角函数解析式，以及求三角函数的单调区间和零点个数，属综合中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）根据诱导公式化简函数后代入求解即可；
（2）根据同角三角函数的基本关系求出，利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1）

（2）由，，得

又由，，得

所以
.
21、（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令，换元，化函数为的二次函数，求出，由此可值域；
（3）由题意利用分离参数法、换元法、基本不等式先求出集合，根据（2）中范围得出的范围，再由可得的范围
【详解】解：（1）

令，得
所以函数图象的对称轴方程为：
（2）由（1）知，，
当时，，
∴，，即
令，
则，，
由
得，
∴当时，有最小值，
当时，有最大值1，
所以当时，函数的值域为
（3）当，不等式恒成立，
因为时，，，所以，
令，则，
所以
又，
当且仅当即时取等号
而，所以，即，所以
又由（2）知，，
当时，，
所以，要使恒成立，只须使，
故的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的对称性，换元法求三角函数的值域，考查不等式恒成立问题，在同时出现和的函数中常常设换元转化为二次函数，再结合二次函数性质求解．不等式恒成立问题仍然采用分离参数转化为求函数的最值