江苏省睢宁县高级中学2025年数学高一第一学期期末达标测试试题含解析.doc

江苏省睢宁县高级中学2025年数学高一第一学期期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在平行四边形中，设，，，，下列式子中不正确是（）
A. B.
C. D.
2．已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）

A. B.
C. D.
3．若都是锐角，且，，则的值是
A. B.
C. D.
4．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ）

A. B.
C. D.
6．函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（）
A. B.
C. D.
7．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为.设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是（）
A.30 B.60
C.900 D.180
8．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
9．已知，方程有三个实根，若，则实数
A. B.
C. D.
10．已知定义域为的函数满足：，且，当时，，则等于（）
A B.
C.2 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；
②的范围为；
③当时，；
④当时，.
其中正确结论的序号是______.

12．已知集合，，则=______
13．直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____.
14．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________
15．已知在上是增函数，则的取值范围是___________.
16．已知，则__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求在区间上的值域
18．已知点及圆.
(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由
19．如图，在长方体中，，，是与的交点.

求证：(1)平面
(2)求与的所成角的正弦值.
20．某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是，其中是正的常数，为自然对数的底数.
（1）判断函数是增函数还是减函数；
（2）把表示成原子数的函数.
21．已知集合为非空数集，定义，.
（1）若集合，直接写出集合及；
（2）若集合，，且，求证；
（3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据向量加减法计算，再进行判断选择.
【详解】;
;
;

故选：B
【点睛】本题考查向量加减法，考查基本分析求解能力，属基础题.
2、B
【解析】由函数的图象可得，函数的图象过点 ，分别代入函数式， ，解得 ，函数与都是增函数，只有选项符合题意，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
3、A
【解析】由已知得,
,故选A.
考点：两角和的正弦公式
4、A
【解析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：A
5、B
【解析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.
【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，
所以右图的图象所对应的解析式为.
故选：B
6、C
【解析】分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.
【详解】解：当时，增函数，开口向上，对称轴，
排除B,D；当时，为减函数，开口向下，
对称轴，排除A,
故选:C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7、B
【解析】利用基本不等式进行最值进行解题.
【详解】解：某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为

当且仅当，即时，等号成立.
的最小值是.
故选：B
8、B
【解析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
9、B
【解析】判断f（x）与2 的大小，化简方程求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值
【详解】由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，，
当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2
得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，则x，
①当﹣1≤x时，有f（x）≥2，
原方程可化为f（x）+2f（x）﹣22ax﹣4＝0，
即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x，由﹣1
解得：0≤a≤22
②当x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为42ax﹣4＝0，
化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x，
又0≤a≤22，∴0
∴x1，x2，x3＝0
由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得2（），
解得a（舍）或a
因此，所求实数a
故选B
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据分段函数的表达式结合绝对值的应用，确定三个根x1、x2、x3的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大
10、A
【解析】根据函数的周期性以及奇偶性，结合已知函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为函数满足：，且，
故是上周期为的偶函数，故，
又当时，，则，
故.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①④.
【解析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.
【详解】解：对于①，由为定值，
所以，
解得；
由题意知时，单调递减，所以单调递增，
即越大越费力，越小越省力；①正确.
对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误.
对于③，当时，，所以，③错误.
对于④，当时，，所以，④正确.
综上知，正确结论的序号是①④.
故答案为：①④.
【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题
12、{-1,1,2}；
【解析】=={-1,1,2}
13、
【解析】直接令，即可求出
【详解】解：对直线令，得
可得直线在轴上截距是，
故答案：
【点睛】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题
14、
【解析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.
【详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.
故答案为：.
15、
【解析】将整理分段函数形式,由在上单调递增,进而可得,即可求解
【详解】由题,,显然,在时,单调递增,
因为在上单调递增,所以,即,
故答案为:
【点睛】本题考查已知函数单调性求参数,考查分段函数,考查一次函数的单调性的应用
16、
【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值
【详解】∵tanα=3，∴sinα•cosα .
故答案为.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）在区间上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】（1）利用定义法，设出，通过做差比较的大小，即可证明；
（2）根据第（1）问得到在区间上的单调性，在区间直接赋值即可求解值域.
【小问1详解】
在区间上单调递增，证明如下：
，且，有

因为，且，所以，
于是，即
故在区间上单调递增
【小问2详解】
由第（1）问结论可知，因为在区间上单调递增,

，
所以在区间上的值域为
18、（1）或；（2）；（3）不存在.
【解析】（1）设出直线方程，结合点到直线距离公式，计算参数，即可．（2）证明得到点P为MN的中点，建立圆方程，即可．（3）将直线方程代入圆方程，结合交点个数，计算a的范围，计算直线的斜率，计算a的值，即可
【详解】(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.
所以直线方程为，即.
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件
即直线的方程为或.
(2)由于，而弦心距，
所以.
所以恰为的中点
故以为直径的圆的方程为.
(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.
由于直线交圆于两点，
故，
即，解得.
则实数的取值范围是
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，
而，
所以.由于，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.
【点睛】考查了点到直线距离公式，考查了圆方程计算方法，考查了直线斜率计算方法，难度偏难
19、 (1)见解析；(2)
【解析】（1）根据长方体的性质，侧棱平行且相等，利用平行四边形判定及性质，推出线线平行，再证线面平行；
（2）由（1），取平行线，即可求解异面直线所成角的平面角，再求正弦值.
【详解】(1)连结交于点，连结，
，，
，.
.
又平面，平面，
平面

(2)与的所成角为
在中：

【点睛】（1）立体几何中平行关系的证明，常见方法有平行四边形对边平行，本题比较基础.
（2）借助平行线，将两条异面直线所成角转化为两条相交直线所成角，为常用方法，中等题型.
20、 (1)减函数；(2)（其中）.
【解析】（1）即得是关于的减函数；
（2）利用指数式与对数式的互化，可以把t表示为原子数N的函数
试题解析：
（1）由已知可得
因为是正常数，，所以，即，
又是正常数，所以是关于的减函数
（2）因为，所以，所以，即（其中）.
点睛：本题利用指数函数的单调性即可容易得出函数的单调性，利用指数与对数的互化可得出函数的表达式.
21、（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【解析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；
（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；
（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值
【详解】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，即，
剩下的，所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，
∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，
∴，
∴，
∴，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
【点睛】关键点点睛：第三问集合中元素的个数最多时，应满足中的最大值小于中的最小值，另外容斥原理的应用也是解题的关键.