海南省澄迈县澄迈中学2026届数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

海南省澄迈县澄迈中学2026届数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，a=3．则下列关系式成立的是
A.aA
B.aA
C.{a}A
D.{a}∈A
2．若＜α＜π，化简的结果是（　　）
A. B.
C. D.
3．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（）

A. B.
C. D.
4．已知是第三象限角，，则
A. B.
C. D.
5．已知命题，则为（）
A. B.
C. D.
6．符号函数是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为若定义在上的奇函数，当时，，则的图象是（）
A. B.
C. D.
7．直线的倾斜角
A. B.
C. D.
8．在四棱锥中，平面，中，，，则三棱锥的外接球的表面积为

A. B.
C. D.
9．已知角与角的终边关于直线对称，且，则等于（）
A. B.
C. D.
10．已知集合，则 （ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，若，则__________.
12．已知指数函数的解析式为，则函数的零点为_________
13．已知，，，则的最大值为___________.
14．过点，的直线的倾斜角为___________.
15．已知命题“，” 是真命题，则实数的取值范围为__________
16．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值集合.
18．已知为第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求的值.
19．设函数.
（1）若函数的图象C过点，直线与图象C交于A，B两点，且，求a，b；
（2）当，时，根据定义证明函数在区间上单调递增.
20．已知，其中为奇函数，为偶函数.
（1）求与的解析式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性（不需证明）；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．如图，已知三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若，，求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】集合，，
所以 {a}A
故选C.
2、A
【解析】利用三角函数的平方关系式，根据角的范围化简求解即可
【详解】= 因为＜α＜π所以cos<0,结果为,故选A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，考查计算能力
3、C
【解析】根据斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图，然后可解.
【详解】由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面积为.
故选：C

4、D
【解析】利用条件以及同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值
【详解】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，
得sinα，
故选D
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题
5、D
【解析】由全称命题的否定为存在命题，分析即得解
【详解】由题意，命题
由全称命题的否定为存在命题，可得：
为
故选：D
6、C
【解析】根据函数的奇偶性画出的图象，结合的知识确定正确答案.
【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称.
当时，，
结合的奇偶性，作出的大致图象如下图所示，
根据的定义可知，选项C符合题意.
故选：C

7、A
【解析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.
【详解】可得直线的斜率为，
由斜率和倾斜角的关系可得，
又∵
∴
故选：A.
【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.
8、B
【解析】由题意，求长，即可求外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积.
【详解】由题意中，，，
则是等腰直角三角形，平面可得，，
平面，，则的中点为球心
设外接圆半径为，则，
设球心到平面的距离为，则
，由勾股定理得，
则三棱锥的外接球的表面积
故选：
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.
9、A
【解析】先在角终边取一点，利用角与角的终边关于直线对称写出对称点的坐标，即可求得，进而求得.
【详解】由知角终边在第一或第二象限，在终边上取一点或，又角与角的终边关于直线对称，
故角的终边必过点或，故，则.
故选：A.
10、D
【解析】利用元素与集合的关系判断即可.
【详解】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.
所以，，，
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知先求得，再求得，代入可得所需求的函数值.
【详解】由已知得，
即，所以，
而，
故答案为.
【点睛】本题考查函数求值中的给值求值问题，关键在于由已知的函数值求得其数量关系，代入所需求的函数解析式中，可得其值，属于基础题.
12、1
【解析】解方程可得
【详解】由得，
故答案为：1
13、
【解析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立.
所以的最大值为
故答案为：
14、##
【解析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解.
【详解】解：设直线的倾斜角为，
由题得直线的斜率为，
因为，所以.
故答案为：
15、
【解析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为，函数的图象抛物线开口向上，所以只要判别式不大于0即可
【详解】解：因为命题“，”是真命题，
所以不等式在上恒成立
由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知，
判别式即解得
所以实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意的范围，如果，一定要注意数形结合；还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出的范围．本题是一道基础题
16、36
【解析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：依题意、 cm，所以，即 cm，所以；
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2） .
【解析】易得．（1）由；（2），然后利用分类讨论思想对、和分三种情况进行讨论.
试题解析：集合
（1）若，则，则
（2），∴，
当，即时，成立；
当，即时，
（i）当时，，要使得，，
只要解得，所以的值不存在；
（ii）当时，，要使得，
只要解得
综上，的取值集合是
考点：集合的基本运算.
18、（1）；
（2）﹒
【解析】(1)利用三角函数的诱导公式即可化简；
(2)根据求出sinα，＝－cosα＝即可求得﹒
【小问1详解】

【小问2详解】
∵，∴，
又为第三象限角，∴，
∴
19、（1），
（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得，，设，，由题意得，即的两根为或，结合方程根与系数关系及，代入可求；
（2），先设，利用作差法比较与的大小即可判断
【小问1详解】
由题意得，，
设，，
由题意得，即的两根为或，
所以，
所以，
整理得，，
解得，或（舍；
故，；
小问2详解】
证明：当，时，，
设，则，，
，
所以，
所以在区间，上单调递增
20、（1），；（2）函数在其定义域上为减函数；（3）.
【解析】（1）由与可建立有关、的方程组，可得解出与的解析式；
（2）化简函数解析式，根据函数的解析式可直接判断函数的单调性；
（3）将所求不等式变形为，根据函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数为奇函数，为偶函数，
，，
即，
所以，，解得，.
由，可得，
所以，，；
（2）函数的定义域为，，
所以，函数在其定义域上为减函数；
（3）由于函数为定义域上的奇函数，且为减函数，
由，可得，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.
21、（1）见详解；（2）见详解；（3）.
【解析】(1)先证，可证平面.
(2)先证，得，结合可证得平面.
(3)等积转换，由，可求得体积.
【详解】(1)证明：因为为的中点，为的中点，
所以是的中位线，.
又，，
所以.
(2)证明：因为为正三角形，为的中点，所以.
又，所以.
又因为，，所以.
因为，所以.
又因为，，
所以.
(3)因为，，
所以，即是三棱锥的高.
因为，为的中点，为正三角形，
所以.
由，可得，
在直角三角形中，由，可得.
于是.
所以.
【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.