安徽省部分省示范中学2026届数学高一上期末监测试题含解析.doc

安徽省部分省示范中学2026届数学高一上期末监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，若f（a）=10，则a的值是（　　）
A.-3或5 B.3或-3
C.-3 D.3或-3或5
2．已知函数，则方程的实数根的个数为（）
A. B.
C. D.
3．若，则的值为（）
A. B.
C.或 D.
4．已知集合，则（）
A.0或1 B.
C. D.或
5．若，则（）
A. B.
C. D.
6．函数，的值域为（）
A. B.
C. D.
7．函数的最小正周期为
A. B.
C.2 D.4
8．关于的一元二次不等式的解集为（）
A.或 B.
C.或 D.
9．已知 为正实数，且，则的最小值为（ ）
A.4 B.7
C.9 D.11
10．已知是角的终边上的点，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则______.
12．函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.
13．请写出一个最小正周期为，且在上单调递增的函数__________
14．两平行直线与之间的距离______.
15．在平面四边形中，，若，则__________.
16．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=，＜α＜2π
（1）求sin（2α+）的值；
（2）求tan（α-）的值
18．已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．直线与直线平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24，求直线的方程.
20．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
21．如图，在三棱柱中，平面，，在线段上，，.

（1）求证：；
（2）试探究：在上是否存在点，满足平面，若存在，请指出点的位置，并给出证明；若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据分段函数的解析式，分两种情况讨论分别求得或.
【详解】若,则舍去）,
若，则,
综上可得，或,故选A .
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求自变量，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
2、B
【解析】由已知，可令，要求，即为，原题转化为直线与的图象的交点情况，通过画出函数的图象，讨论的取值，即可直线与的图象的交点情况.
【详解】令，则，
①当时，，，，即，
②当时，，，
画出函数的图象，如图所示，

若，即，无解；
若，直线与的图象有3个交点，即有3个不同实根；
若，直线与的图象有2个交点，即有2个不同实根；
综上所述，方程的实数根的个数为5个，
故选：
3、A
【解析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.
【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
4、D
【解析】由集合的概念可知方程只有一个解，且解为，分为二次项系数为0和不为0两种情形，即可得结果.
【详解】因为为单元素集，所以方程只有一个解，且解为，
当时，，此时；
当时，，即，此时，
故选：D.
5、A
【解析】利用作为分段点进行比较，从而确定正确答案.
【详解】，
所以.
故选：A
6、A
【解析】首先由的取值范围求出的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以
因为在上单调递增，所以
即
故选：A
7、C
【解析】分析：根据正切函数的周期求解即可
详解：由题意得函数的最小正周期为
故选C
点睛：本题考查函数的最小正周期，解答此类问题时根据公式求解即可
8、A
【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
【详解】由得，解得或.
即原不等式的解集为或.
故选：A.
9、C
【解析】由，展开后利用基本不等式求最值
【详解】 且 ，
∴，
当且仅当，即时，等号成立
∴的最小值为9
故选：C
10、A
【解析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】因为为角终边上的一点，
所以，，，
所以
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用商数关系，由得到代入求解.
【详解】方法一：，则.
方法二：分子分母同除，得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12、
【解析】分类讨论，根据单调性求值域后建立方程可求解.
【详解】若，在上单调递减，则，不符合题意；
若，在上单调递增，则，当值域为时，可知，解得.
故答案为：
13、或（不唯一）.
【解析】根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可.
【详解】解：根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可，
如或满足题意
故答案为：或（不唯一）.
14、2
【解析】根据平行线间距离公式可直接求解.
【详解】直线与平行
由平行线间距离公式可得
故答案为:2
【点睛】本题考查了平行线间距离公式的简单应用,属于基础题.
15、##1.5
【解析】设，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案.
【详解】
设，在中，，，
，
在中，，，，
，
由正弦定理得：，
得，
.
故答案为：.
16、1
【解析】利用几何概型中的长度比即可求解.
【详解】实数满足，解得，
，
解得，
故答案为：1
【点睛】本题考查了几何概率的应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）先根据题目中的条件结合同角公式求出，利用二倍角公式求出，利用两角和的正弦公式即可求出的值
（2）根据第一问求得的的值直接求出的值，再利用两角差的正切公式即可求出的值
【详解】解：（1）∵cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=，
∴cos[（α-β）+β]=，即cos
∵＜α＜2π，∴sinα=
∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=
∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=；
（2）由（1）知，tan，
∴tan（α-）==
【点睛】本题考查两角和差的正余弦公式及正切公式的灵活运用，以及倍角公式的使用；在做这一类题目时要灵活运用这一同角公式
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据正切的差角公式求得，再利用正切的二倍角公式可求得答案；
（2）根据同角三角函数的关系和正弦，余弦的二倍角公式，代入可得答案
【详解】（1）因为，所以，即，解得，
所以，所以，
（2）
19、
【解析】设直线，则将直线与两坐标轴的交点坐标，代入三角形的面积公式进行运算，求出参数，即可得到答案.
【详解】设直线，分别与轴、轴交于两点，则，，那么.所以直线的方程是
【点睛】本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线平行的性质，以及利用直线的截距求三角形的面积．
20、（1）
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；
（2）先证明，
再由不等式证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，

，
，

解得，当且仅当时，等号成立，
即.
【小问2详解】
在中，，

, ,
.
【小问3详解】
由（2）知

，
令，
原不等式等价为，
在上为增函数，
，
，
同理可得，
，，
，
故不等式成立，
问题得证.
【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.
21、 (1)证明见解析；(2)答案见解析.
【解析】（1）因为面，所以，结合就有面，从而.（2）取，在平面内过作交于，连结.可以证明四边形为平行四边形，从而，也就是平面.我们还可以在平面内过作，交于，连结.通过证明平面平面得到平面.
【详解】解析：（1）∵面，面，∴.又∵，，面，，∴面，又面，∴.
（2）（法一）当时，平面.
理由如下：在平面内过作交于，连结.∵，∴，又，且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，又面，面，∴平面.

（法二）当时，平面.理由如下：在平面内过作，交于，连结.∵，面，面，
∴平面，∵，∴，∴，又面，面，∴平面.又面，面，，∴平面平面.∵面，∴平面.

点睛：证明线面平行，我们既可以在已知平面中找出与已知直线平行的直线，通过线面平行的判定定理去考虑，也可以利用构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.