2026届河南省信阳市信阳高级中学数学高二上期末检测模拟试题含解析.doc

2026届河南省信阳市信阳高级中学数学高二上期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两条直线：，：，且，则的值为( )
A.－2 B.1
C.－2或1 D.2或－1
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3．经过点的直线的倾斜角为，则
A. B.
C. D.
4．下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有（）
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③菱形的直观图是菱形；④正方形的直观图是正方形.
A.① B.①②
C.③④ D.①②③④
5．如果，那么下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
6．已知双曲线的右焦点为F,双曲线C的右支上有一点P满是(点O为坐标原点),那么双曲线C的离心率为()
A. B.
C. D.
7．方程表示的曲线经过的一点是（ ）
A. B.
C. D.
8．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是
其中正确结论的个数为（）
A. B.
C. D.
9．△ABC两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）
A. B.（y≠0）
C. D.
10．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）
A.1 B.
C. D.2
11．已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为（）.
A.7 B.8
C.9 D.10
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数的导函数为，已知函数，则______.
14．某校组织了一场演讲比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为9，x，8，y，9．已知这组数据的平均数为8.6，方差为0.24，则______
15．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为________
16．若，，都为正实数，，且，，成等比数列，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）(1)已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围
(2)设命题p：；命题q：，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围
18．（12分）设函数，
（1）求的最大值；
（2）求证：对于任意恒成立．（参考数值：）
19．（12分）如图，在直棱柱 中，已知，点分别的中点.

（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是? 若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.
20．（12分）已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2,、分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:
①过点且斜率为1的直线与椭圆E相切;
②过且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且的面积为．(只能从①②中选择一个作为已知)
（1）求椭圆E的方程;
（2）过点的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线交于H点,若,．证明:为定值
21．（12分）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设，求数列的前n项和.
22．（10分）已知与定点，的距离比为的点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于M，N两点.
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】两直线平行，倾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，据此即可求解.
【详解】：，：斜率不可能同时不存在，
∴和斜率相等，则或，
∵m＝－2时，和重合，故m＝1.
另解：，故m=1.
故选：B.
2、D
【解析】将方程化为标准式即可.
【详解】方程化为标准式得
，则.
故选：D.
3、A
【解析】由题意，得，解得；故选A
考点：直线的倾斜角与斜率
4、B
【解析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断①②③④的正确性，即可推出结论
【详解】由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以①正确；
根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以②正确；
根据两轴的夹角为45°或135°知，菱形的直观图不再是菱形，所以③错误；
根据平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，所以④错误.
故选：B.
5、D
【解析】利用不等式的性质分析判断每个选项.
【详解】由不等式的性质可知，因为，所以，，故A错误，D正确；由，可得，，故B，C错误.
故选：D
6、D
【解析】分析焦点三角形即可
【详解】
如图,设左焦点为,因为,所以
不妨设,则
离心率
故选:D
7、C
【解析】当时可得，可得答案.
【详解】当时可得
所以方程表示的曲线经过的一点是，
且其它点都不满足方程，
故选：C
8、C
【解析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.
【详解】当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：；
当且时，曲线的方程可化为：，
曲线的图像如下图所示：

由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
从而曲线所围成的面积，故①正确；
由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；
因为到直线的距离为，
所以，
当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，
因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，
所以圆心到的距离，
从而，即，故③正确，
故选：C.
9、D
【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.
【详解】因为，所以，
所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，
所以顶点C的轨迹方程是，
故选：D.
【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.
10、B
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，
∴，∴，则圆柱的体积，
∴，由得，由得，
∴当时，取极大值，也是最大值，即
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.
11、C
【解析】设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得，可得出
，利用A、P、M三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】∵是双曲线的左焦点，
∴，，，，
设双曲线的右焦点为M，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为9.
故选：C.

【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
12、B
【解析】写出每次循环的结果，即可得到答案.
【详解】当时，，，
，；
，此时，退出循环，
输出的的为.
故选：B
【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】首先求出函数的导函数，再令代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，解得；
故答案为：
14、1
【解析】根据平均数和方差的计算公式，求得，则问题得解.
【详解】由题可知：整理得：；
，
整理得：，联立方程组得，
解得或，对应或，故.
故答案为：1.
15、
【解析】先设出抛物线方程，写出准线方程和焦点坐标，利用得到抛物线方程，再利用三角形的面积公式进行求解.
【详解】设抛物线的方程为，
则焦点为，准线方程为，
由题意，得，，，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
16、##
【解析】利用等比中项及条件可得，进而可得，再利用基本不等式即得.
【详解】∵，，都为正实数，，，成等比数列，
∴，又，
∴，即，
∴，
∴
，当且仅当，即取等号.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】根据复合命题的真值表知：p真q假；
非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集
【详解】命题p：，即；
命题，即；
由于“”为真命题，则p真q假，
从而由q假得，，
所以x的取值范围是
命题p：，即
命题q：，即
由于是的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件
即有，
【点睛】本题考查了复合命题及其真假属基础题
18、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）求出，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.
（2）先证明任意的，总有，再利用放缩法和换元法将不等式成立问题转化为任意恒成立，后者可利用导数证明.
【小问1详解】
，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故.
【小问2详解】
因为，故当时，，
即，
而在为减函数，
故在上有，
故任意的，总有.
要证任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
由（1）可得，任意，有即，
故即证：任意恒成立，
设，即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
设，
则，而在为增函数，
，故存在，使得，
且时，，时，，
故在为减函数，在为增函数，
故任意，总有，
故任意恒成立，
所以任意恒成立.
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（导数、放缩法等）进行处理.
19、（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.，利用向量法求解异面直线成角即可.
（2）先求出平面DEF的一个法向量，然后利用向量法求解点面距离.
（3）设（），由 可得关于的方程，从而得出答案.
【小问1详解】
由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，
故 ， ，
从而，
所以异面直线AE与DF所成角的大小为.
小问2详解】
，设平面DEF的法向量为 ，
则，即，
取，得到平面DEF的一个法向量为.
点A到平面DEF的距离为.
【小问3详解】
假设存在满足条件的点M，设（），则 ，
从而 .
即，即，此方程无实数解，
故不存在满足条件的点M.

20、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可
(2)用直线参数方程的几何意义求解
【小问1详解】
选①:由题知,过点且斜率为1的直线方程为
联立,得

由,得
所以椭圆的方程为
选②:由题知,所以
由,得
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
证明:设直线的参数方程为(为参数)
设A,B,H对应的参数分别为,显然
将代入椭圆,得
即.
所以
将代入直线,得
由,得,所以
由,得,所以
所以
所以为定值
【点睛】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对值表示距离，还要注意方向性.
请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分
21、（1）
（2）.
【解析】(1)由数列的前n项和与通项公式之间的关系即可完成.
(2)由错位相减法即可解决此类“差比”数列的求和.
【小问1详解】
由，
得当时，，
上下两式相减得，，
又当时，满足上式，
所以数列的通项公式；
【小问2详解】
由（1）可知，
所以，
则，
上下两式相减得
，
所以.
22、（1）
（2）或
【解析】（1）设曲线上的任意一点，由题意可得，化简即可得出
（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率不存在时，即可求出、的坐标，从而求出，当直线的斜率存在，设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，则，即可求出，从而求出直线方程，由圆心在直线上，即可求出弦长；
【小问1详解】
解：（1）设曲线上的任意一点，
由题意可得：，即，整理得
【小问2详解】
解：依题意当直线的斜率不存在时，直线方程为，则，则或，即、，所以、，所以满足条件，此时，
当直线的斜率存在，设直线方程为，，，则，消去整理得，由，解得或，所以、，因为，，所以

，解得，所以直线方程为，又直线过圆心，所以，
综上可得或；