2025-2026学年山东省泰安市新泰市第二中学数学高一上期末预测试题含解析.doc

2025-2026学年山东省泰安市新泰市第二中学数学高一上期末预测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

A. B.
C. D.
2．已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A.3 B.
C.9 D.
3．把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）
A.， B.，
C.， D.，
4．下列函数中在定义域上为减函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
5．对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．下列函数中最小正周期为的是
A. B.
C. D.
7．已知函数的上单调递减，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知函数，则下列结论正确的是（）
A.
B.的值域为
C.在上单调递减
D.的图象关于点对称
9．下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数的零点在区间内，则（）
A.4 B.3
C.2 D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为

12．设函数，若关于的不等式的解集为，则__________
13．已知是球上的点，,，,则球的表面积等于________________
14．已知函数(，，)的部分图象如图，则函数的单调递增区间为______.

15．设集合，，若，则实数的取值范围是________
16．幂函数的图象经过点，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设，，.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值.
19．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最大值和最小值.
20．已知二次函数图象经过原点，函数是偶函数，方程有两相等实根.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
21．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.
（1）求圆M的方程；
（2）若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；
（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由图观察出和后代入最高点，利用可得，进而得到解析式
【详解】解：由图可知：，，，，
代入点，得，，，
，，
，
故选．
【点睛】本题考查了由的部分图象确定其表达式，属基础题．
2、A
【解析】根据扇形面积公式求出半径.
【详解】扇形的面积，解得：
故选：A
3、D
【解析】利用三角函数图象变换依次列式求解作答.
【详解】函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得图象的解析式为，
把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是，.
故选：D
【点睛】易错点睛：涉及三角函数图象变换问题，当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量是不同的
4、C
【解析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.
【详解】对于A，由函数，定义域为，且在上递增，故A不符题意；
对于B，由函数，定义域为，且在上递增，故B不符题意；
对于C，由函数，定义域为，且在上递减，故C符合题意；
对于D，由函数，定义域为，且在上递增，故D不符题意.
故选：C
5、C
【解析】由函数奇偶性的定义求出的解析式，可得出结论.
【详解】若函数的定义域为，的图象既关于原点对称又关于轴对称，
则，可得，
因此，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的充要条件
故选：C.
6、A
【解析】利用周期公式对四个选项中周期进行求解
【详解】A项中Tπ，
B项中T，
C项中T，
D项中T，
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数周期公式的应用．对于带绝对值的函数解析式，可结合函数的图象来判断函数的周期
7、C
【解析】利用二次函数的图象与性质得，二次函数f（x）在其对称轴左侧的图象下降，由此得到关于a的不等关系，从而得到实数a的取值范围
【详解】当时，，显然适合题意，
当时，，解得：，
综上：的取值范围是
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题
8、C
【解析】利用分段函数化简函数解析式，再利用函数图像和性质，从而得出结论.
【详解】
故函数的周期为，即，故排除A,
显然函数的值域为，故排除B,
在上，函数为单调递减，故C正确，
根据函数的图像特征，可知图像不关于点对称，故排除D.
故选：C.
【点睛】本题解题时主要利用分段函数化简函数的解析式，在化简的过程中注意函数的定义域，以及充分利用函数的图像和性质解题.
9、A
【解析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，的最小正周期是，且是奇函数，A正确.
B选项，的最小正周期是，且是奇函数，B错误.
C选项，的最小正周期为，且是奇函数，C错误.
D选项，的最小正周期是，且是偶函数，D错误.
故选：A
10、B
【解析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.
【详解】因为，，
所以函数在区间内有零点，所以.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先计算周期，则，函数，
又图象过点，则，
∴
由于，则.
考点：依据图象求函数的解析式；
12、
【解析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.
【详解】由于满足，即，可得，
所以，，
所以，方程的两根分别为、，
而可化为，即，
所以，方程的两根分别为、，
，且不等式解集为，
所以，，解得，则，因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.
13、
【解析】
由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以 ，又，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，,所以，所以球的表面积
点睛：本题考查了球内接多面体，球的表面积公式，属于中档题．其中根据已知条件求球的直径（半径）是解答本题的关键
14、
【解析】由函数的图象得到函数的周期，同时根据图象的性质求得一个单调增区间，然后利用周期性即可写出所有的增区间.
【详解】由图可知函数f(x)的最小正周期.
如图所示，一个周期内的最低点和最高点分别记作，
分别作在轴上的射影，记作,
根据的对称性可得的横坐标分别为,
∴是函数f(x)的一个单调增区间，
∴函数的单调增区间是,
故答案为：,

【点睛】本题关键在于掌握函数图象的对称性和周期性.一般往往先从函数的图象确定函数中的各个参数的值，再利用函数的解析式和正弦函数的性质求得单调区间，但是直接由图象得到函数的周期，并根据函数的图象的性质求得一个单调增区间，进而写出所有的增区间，更为简洁.
15、
【解析】对于方程，由于，解得集合，由，根据区间端点值的关系列式求得的范围
【详解】解：对于，
由于，，
，；
∴
∵，集合，
∴
解得，，
则实数的取值范围是
故答案为：
16、
【解析】设幂函数的解析式，然后代入求解析式，计算.
【详解】设，则，解得，所以，得
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】（1）先得出集合A，利用并集定义求出，再由补集定义即可求出；
（2）由题可得集合是集合的真子集，则可列出不等式组求出.
【详解】解：（1）当时，，又，
所以，所以或；
（2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.
又因为，，，
所以，解得，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求，
所以实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含
18、（1）
（2）4
【解析】（1）根据余弦函数的周期公式，求得答案；
（2）根据余弦函数的性质，可求得函数f(x)的最大值.
【小问1详解】
由题意可得：函数的最小正周期为：；
【小问2详解】
因为，
故，
即的最大值为4.
19、（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）展开两角差的余弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；
（2）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性可求函数在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】

，
，
的最小正周期为；
【小问2详解】
因，
所以，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
20、（1）；（2）；（3）.
【解析】(1)运用待定系数法，结合题目条件计算得，
(2)分离参量，计算在上的最大值
(3)转化为有且只有一个实数根，换元，关于的方程只有一个正实根，转化为函数问题
解析：（1）设.由题意，得.
∴，
∵是偶函数，∴ 即.①
∵有两相等实根，∴且②
由①②，解得，∴.
（2）若对任意，恒成立，
只须在恒成立.
令，，则.
若对任意，恒成立，
只须满足.
∴.
（3）函数与的图像有且只有一个公共点，
即有且只有一个实数根，
即有且只有一个实数根.
令，则关于的方程 (记为式)只有一个正实根.
若，则不符合题意，舍去.
若，则方程的两根异号，∴即.
或者方程有两相等正根.
解得
∴.
综上，实数取值范围是.
点睛:本题是道综合题
21、（1）
（2）
（3）存在，方程为
【解析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解；
（2）注意到当点C到直线AB距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解;
（3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得.
【小问1详解】
∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），
∴圆M的圆心为M（a，a），半径.
又圆心M在直线上，
∴，解得.
∴圆M的方程为：.
【小问2详解】
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，
∴由，解得.
∴.
易知圆心M到直线AB的距离，
∴点C到直线AB的最大距离为.
∴△ABC面积的最大值为.
【小问3详解】
方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.
又∵，∴.
又∵直线MP的斜率为，
∴直线AB的斜率为-.
∴.
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.
方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，
∴此时点P不平分AB.
当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.
∵点A、B是圆M上的点，设，.
∴
由点差法得.
由点P是弦AB的中点，可得，
∴.
∴
∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.