2025-2026学年湖南省湘西数学高一上期末达标检测试题含解析.doc

2025-2026学年湖南省湘西数学高一上期末达标检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．边长为的正四面体的表面积是
A. B.
C. D.
2．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A. B.
C. D.
3．定义域为R的偶函数满足对任意的,有=且当时,=,若函数=在(0,+上恰有六个零点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
4．下列所给出的函数中，是幂函数的是
A. B.
C. D.
5．设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
6．设，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7．一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（）

A.0 B.1
C.3 D.4
8．集合，集合，则等于（ ）
A. B.
C. D.
9．给定已知函数.若动直线y=m与函数的图象有3个交点，则实数m的取值范围为
A. B.
C. D.
10．已知是锐角三角形，，，则
A. B.
C. D.与的大小不能确定
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为_____________.
12．已知函数，使方程有4个不同的解：，则的取值范围是_________; 的取值范围是________.
13．已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.
14．已知在平面直角坐标系中，角顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则___________.
15．函数的零点为_________________.
16．若，则a的取值范围是___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围
18．已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件①：的图象关于点对称；
条件②：的图象关于直线对称
（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；
（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
19．已知函数，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称，求的最小值
20．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知函数，
（1）求函数的最大值；
（2）若，，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，
∴表面积为：4×a=a2，
故选D
2、D
【解析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值
【详解】解：设，则，得，
所以，
所以，
故选：D
3、C
【解析】因为=,且是定义域为R的偶函数，令,则，解得，所以有=，所以是周期为2的偶函数，因为当时，=，其图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线，因为函数=在(0,+上恰有六个零点，令，因为所以，所以，要使函数=在(0,+上恰有六个零点，如图所示：

只需要,解得.故选C.
点睛：本题考查函数的零点及函数与方程，解答本题时要注意先根据函数给出的性质对称性和周期性，画出函数的图象，然后结合函数的零点个数即为函数和图象交点的个数，利用数形结合思想求得实数的取值范围.
4、B
【解析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论
【详解】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确；
故选B
【点睛】本题考查幂函数的定义，考查判断推理能力，基本知识掌握情况，是基础题
5、C
【解析】将分别看成对应函数的交点的横坐标，在同一坐标系作出函数的图像，数形结合可得答案.
【详解】在同一坐标系中分别画出，，的图象，

与的交点的横坐标为，
与的图象的交点的横坐标为，
与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出
故选：C
6、C
【解析】比较a、b、c与0和1的大小即可判断它们之间的大小.
【详解】，
，
，
故
故选：C.
7、C
【解析】根据题意设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，写出函数解析式，计算f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值
【详解】根据题意，设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），则A＝2，k＝1，
因为T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，
又因为t＝0时，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，
又因为φ＜0，所以φ，
所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；
所以f（t）sint﹣cost+1，
f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，
f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，
所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3
故选：C
8、B
【解析】直接利用交集的定义求解即可.
【详解】由题得.
故选：B
9、B
【解析】画出函数的图像以及直线y=k的图像，根据条件和图像求得k的范围。
【详解】设，由题可知，当，即或时，；当，即时，，因为，故当时，，当时，，
做出函数的图像如图所示，直线y=m与函数有3个交点，可得k的范围为（4,5）.

故选：B
【点睛】本题考查函数图像与直线有交点问题，先分别求出各段函数的解析式，再利用数形结合的方法得到参数的取值范围。
10、A
【解析】分析：利用作差法，根据“拆角”技巧，由三角函数的性质可得.
详解：将，
代入，，
可得，
，
由于是锐角三角形，
所以，
，
，，
所以，
，
综上，知．故选A
点睛：本题主要考查三角函数的性质，两角和与差的三角函数以及作差法比较大小，意在考查学生灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是运用好“拆角”技巧.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据偶次根式和分式有意义的要求可得不等式组，解不等式组可求得结果.
【详解】由题意得：，解得：且，即的定义域为.
故答案为：.
12、 ①. ②.
【解析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.
【详解】做出函数的图像如下：

在单调递减：最小值0；在单调递增：最小值0，最大值2；
在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.
若方程有4个不同的解：，则
不妨设四个解依次增大，则
是方程的解，则，即；
是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.
故，
由得即

当时，单调递减，则
故答案为：①；②
13、
【解析】作出函数的图象，结合图象即可得的最小值.
【详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，

因为对，，故函数的图象如图所示：

由图可知，当时，函数取得最小值.
故答案为：.
14、
【解析】根据角的终边经过点，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角公式求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
15、.
【解析】解方程即可.
【详解】令，可得，所以函数的零点为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求函数的零点，属基础题.
16、
【解析】先通过的大小确定的单调性，再利用单调性解不等式即可
【详解】解：且，
，得，又
在定义域上单调递减，
，
，解得
故答案为：
【点睛】方法点睛：在解决与对数函数相关的解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；；（2）.
【解析】（1）时求出集合，，再根据集合的运算性质计算和；
（2）根据，讨论和时的取值范围，从而得出实数的取值范围
【详解】解：（1）当时，，
或，
或；
又，
；
（2），
当，即时，，满足题意；
当时，应满足，此时得；
综上，实数的取值范围是
【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据周期可得，选择条件①：由可求出；选择条件②：由可求出；
（2）令可求出单调递增区间.
【小问1详解】
的最小正周期为，则.
选择条件①：
因为的图象关于点对称，
所以，则，
因为，所以，则；
选择条件②：
因为的图象关于直线对称，
所以，则，、
因为，所以，则；
【小问2详解】
由（1），
令，
解得，
所以的单调递增区间为.
19、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由余弦函数的单调性，解不等式，，即可求出；（2）利用函数的性质，结合在时的单调性与最值，可得实数的取值范围；（3）先求出的解析式，然后利用图象关于原点中心对称，是奇函数，可求出的最小值
【详解】（1）由余弦函数的单调性，解不等式，，
得，所以函数的单调递增区间为；
（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，，，
所以当时，函数与函数的图象有两个公共点，
即当时,方程恰有两个不同的实数根时
（3）函数的图象向右平移个单位,
得到,则是奇函数，
则，
即，，
则
因为，所以当时，.
【点睛】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据点A的纵坐标，可求得点A的横坐标，根据正切函数的定义，即可得答案.
（2）利用诱导公式进行化简，结合（1）即可得答案.
【小问1详解】
因为点A纵坐标为，且点A在第二象限，
所以点A的横坐标为，
所以；
【小问2详解】
由诱导公式可得：.
21、（1）3（2）
【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.
（2）利用换元法求解即可.
【小问1详解】
函数

令解得
∴当，时，函数取到最大值3.
【小问2详解】
∵，∴
设，则