2025-2026学年上海市闵行七校数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年上海市闵行七校数学高一上期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “”是“幂函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A. B.
C. D.
3．在正方体中，为棱的中点，则
A. B.
C. D.
4．命题“，使得”的否定是（）
A.， B.，
C.， D.，
5．对于每个实数x，设取两个函数中的较小值.若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为,则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
6．定义在上的偶函数的图象关于直线对称，当时，．若方程且根的个数大于3，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
8．过点且平行于直线的直线方程为（）
A. B.
C. D.
9．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为
A. B.
C. D.
10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）
A. B.
C.2 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________ .
12．若，则___________.
13．函数f(x)＝＋的定义域为____________
14．已知a∈R，不等式的解集为P，且-1∈P，则a的取值范围是____________.
15．已知函数=___________
16．函数y＝cos2x－sin x的值域是__________________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为
（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由
18．（1）计算：；
（2）已知，，求，的值.
19．已知点，，.
（1）若，求的值；
（2）若，其中为坐标原点，求的值.
20．已知函数.
（1）证明为奇函数；
（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.
21．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完
（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
（注：利润＝销售额－成本）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】由幂函数的概念，即可求出或，再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果.
【详解】若为幂函数，则，解得或，
又或都满足在上单调递增
故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件
故选：A.
2、C
【解析】因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C
考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象
3、C
【解析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论
【详解】画出正方体，如图所示

对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确
对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确
对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确
对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确
故选C
【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题
4、B
【解析】根据特称命题的否定的知识确定正确选项.
【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，注意否定结论，
所以，命题“，使得”的否定是，.
故选：B
5、C
【解析】如图，作出函数的图象，其中，

设与动直线的交点的横坐标为，
∵图像关于对称
∴
∵
∴
∴
故选C
点睛：本题首先考查新定义问题，首先从新定义理解函数，为此解方程，确定分界点，从而得函数的具体表达式，画出函数图象，通过图象确定三个数中具有对称关系，，因此只要确定的范围就能得到的范围.
6、D
【解析】由题设，可得解析式且为周期为4的函数，再将问题转化为与交点个数大于3个，讨论参数a判断交点个数，进而画出和的图象，应用数形结合法有符合题设，即可求范围.
【详解】由题设，，即，
所以是周期为4的函数，
若，则，故，
所以，
要使且根的个数大于3，即与交点个数大于3个，又恒过，
当时，在上，在上且在上递减，此时与只有一个交点，
所以.
综上，、的图象如下所示，

要使交点个数大于3个，则，可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据已知条件分析出的周期性，并求出上的解析式，将问题转化为两个函数的交点个数问题，结合对数函数的性质分析a的范围，最后根据交点个数情况，应用数形结合进一步缩小参数的范围.
7、D
【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
8、A
【解析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.
【详解】解：设直线的方程为，
把点坐标代入直线方程得.
所以所求的直线方程为.
故选：A
9、B
【解析】得到的偶函数解析式为，显然
【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.
10、A
【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.
【详解】由得，
∴.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】正方体体积8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为=2，
即为球的直径，所以半径为，
所以球的表面积为=12π
故答案为：12π
点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .
12、1
【解析】由已知结合两角和的正切求解
【详解】由，可知tan（α+β）＝1，得，
即tanα+tanβ＝，
∴
故答案为1
【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，是基础的计算题
13、
【解析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.
【详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.
故答案为：.
14、
【解析】把代入不等式即可求解.
【详解】因为，故，解得：，所以a的取值范围是.
故答案为：
15、2
【解析】，
所以
点睛：本题考查函数对称性的应用．由题目问题可以猜想为定值，所以只需代入计算，得．函数对称性的问题要大胆猜想，小心求证
16、
【解析】将原函数转换成同名三角函数即可.
【详解】，
，当时取最大值，
当时，取最小值；
故答案为： .

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在，，.
【解析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；
（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.
【小问1详解】
∵函数，其反函数为，
∴，
∴，又函数在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递增，
∴函数在区间上单调递减，
∴，解得；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
令，则时，方程有两个不等的实数根，不妨设为，
则，即，
∴，即方程有两个不等的实数根，且两根积为1，
当时方程有且仅有一个根在区间内或1，
由，可得，
令，则原题目等价于对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，
则必有，
∴，解得，
此时，则其根在区间内，
所以，
综上，存在，使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是把问题转化为对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，进而利用二次函数性质可求.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数运算与对数运算的法则计算即可；
（2）先根据指对数运算得，进而，再将其转化为求解即可.
【详解】解：（1）原式＝
＝
（2）
∴，，化为：，
，解得
∴
19、 (1)；(2).
【解析】（1）因为，，，所以，.因为 所以，化简即可得的值；
（2）因为，，所以，因为，所以，平方即可求得的值.
试题解析：
（1）因为，，，
所以，.
因为 所以.
化简得
因为（若，则，上式不成立）.所以.
（2）因为，，
所以，因，所以，
所以，所以，，
因为，所以，故.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；
（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.
【小问1详解】
对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，
∴，
∴，故函数为奇函数；
【小问2详解】
∵函数为奇函数且在上的单调函数，
∴
由
可得，其中，
设，则，
则.∵则，
若关于的方程在上只有一个实根，
则或.
所以，
令，其中.
所以，函数在时单调递增.
①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.
则，解得；
②若为函数的唯一零点，则，解得，
∵，则.
且当时，设函数的另一个零点为，则，
可得，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
21、（1）
（2）当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元
【解析】（1）分段讨论即可；（2）分段求最值，再比较即可
【小问1详解】
由题意知，当x＝10时，所以a＝300
当时，
当时，
所以
【小问2详解】
当0＜x＜40时，，
所以，当x＝30时，W有最大值，最大值为8740
当时，
当且仅当即x＝100时，W有最大值，最大值为8990
因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元.