2025-2026学年贵州安顺市平坝区集圣中学数学高一第一学期期末检测试题含解析.doc

2025-2026学年贵州安顺市平坝区集圣中学数学高一第一学期期末检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是第二象限角，且，则（）
A. B.
C. D.
2．若，则为（）
A. B.
C. D.
3．若角600°的终边上有一点（-4，a），则a的值是
A. B.
C. D.
4．设，则（）
A.3 B.2
C.1 D.-1
5．若函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
6．要得到函数的图像，只需将函数图的图像
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
7．已知集合，，则
A. B.
C. D.
8．已知定义域为的函数满足，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
9．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为
A. B.1
C. D.
10．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.若直线与圆相切，则的值为（）
A.9 B.7
C.-21或9 D.-23或7
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，，则的最小值为____________.
12．函数的零点个数为___
13．已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________
14．函数的定义域是__________，值域是__________.
15．函数的最大值是，则实数的取值范围是___________
16．函数f (x) = sinx- 2cosx + 的一个零点是，则tan= _________ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若当时，求的最大值和最小值及相应的取值.
18．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；
（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.
19．△ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程.
20．已知函数,其中,且.
（1）若函数的图像过点,且函数只有一个零点,求函数的解析式;
（2）在（1）的条件下,若,函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
21．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.
（1）求常数的值；
（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先由求出，再结合是第二象限角，求即可.
【详解】∵
∴ ，
∵是第二象限角， ∴ ，
∴ ，
故A,C,D错，B对，
故选：B.
2、A
【解析】根据对数换底公式，结合指数函数与对数函数的单调性直接判断.
【详解】由对数函数的单调性可知，即，且，
，且，
又，即，所以，
又根据指数函数的单调性可得，
所以，
故选：A.
3、C
【解析】∵角的终边上有一点，根据三角函数的定义可得，即，故选C.
4、B
【解析】直接利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系代入计算可得；
【详解】解：因为，所以；
故选：B
5、C
【解析】根据题意得，，进而根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，
所以，，
因为的解集为，即函数的定义域为
由于函数在上单调递减，在上单调递减，上单调递增，
所以上单调递增，在上单调递减.
故选：C
6、D
【解析】根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.
【详解】依题意，故向左平移个单位得到，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.
7、A
【解析】由得，所以；
由得，所以.
所以．选A
8、A
【解析】根据，，得到求解.
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
，

故选：A
9、D
【解析】因为，所以设弦长为，则，即.
考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.
10、D
【解析】先求得圆的圆心和半径，根据直线若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.
【详解】圆心在轴上圆与直线切于点.
可得圆的半径为3,圆心为.
因为直线与圆相切,
所以由切线性质及点到直线距离公式可得,
解得或7.
故选:D

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、9
【解析】“1”的代换法去求的最小值即可.
【详解】
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为9
故答案为：9
12、2
【解析】当x≤0时，令函数值为零解方程即可；当x＞0时，根据零点存在性定理判断即可.
【详解】当x≤0时，，
∵，故此时零点为；
当x＞0时，在上单调递增，
当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；
综上，函数y在R上共有2个零点.
故答案为：2.
13、，
【解析】作出当，时，的图象，将其图象分别向左、向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的或2倍），得到函数的图象，令，求得的最大值，可得所求范围
【详解】解：因为满足，即；
又由，可得，
画出当，时，的图象，
将在，的图象向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），
再向左平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的倍），
由此得到函数的图象如图：
当，时，，，，
又，所以，
令，由图像可得，则，解得，
所以当时，满足对任意的，，都有，
故的范围为，
故答案为：，

14、 ①. ②.
【解析】解不等式可得出原函数的定义域，利用二次函数的基本性质可得出原函数的值域.
详解】对于函数，有，即，解得，
且.
因此，函数的定义域为，值域为.
故答案为：；.
15、 [－1,0]
【解析】函数，当时，函数有最大值，又因为，所以，故实数的取值范围是
16、##-0.5
【解析】应用辅助角公式有且，由正弦型函数的性质可得，，再应用诱导公式求.
【详解】由题设，，，
令，可得，即，，
所以，，则.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最小正周期为，
（2）最小值为-1，的值为，最大值为2，的值为
【解析】（1）利用周期公式可得最小正周期，由的单调递增区间可得的单调递增区间；
（2）由得，当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值可得答案.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，
令因为的单调递增区间是，
由 ，
解得，
所以，函数的单调递增区间是.
【小问2详解】
令，因为，
所以，即，
当，即时，函数取得最大值，
因此的最大值为，此时自变量的值为；
当，即时，函数取得最小值，
因此的最小值为，此时自变量的值为.
18、（1）70；（2）0.5.
【解析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.
【详解】（1）依题意，，，，
由得，所以.
因为，所以，又，所以.
所以，
所以.
即时点P距离地面的高度为70m.
（2）由（1）知.
令，即，
从而，
∴.
∵，
∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.
【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题
19、.
【解析】设则的中点在直线上和点在直线上,得,求得,再根据到角公式，求得，进而求得直线的方程
试题解析：
设则的中点在直线上,则,即…………………①,
又点在直线上,则…………………②联立①②得,
,
有直线平分,则由到角公式得,得
的直线方程为:.
20、（1）或（2）
【解析】（1）因为,根据函数的图像过点,且函数只有一个零点,联立方程即可求得答案;
（2）因为,由（1）可知:,可得,根据函数在区间上单调递增,即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）
根据函数的图像过点,且函数只有一个零点
可得,整理可得,消去
得,
解得或
当时,,
当时,,
综上所述,函数的解析式为:或
（2） 当,由（1）可知:

要使函数在区间上单调递增
则须满足
解得,
实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
21、（1）（2）42h
【解析】（1）根据题意，得到，求解，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，得到，由题意得到，求解，即可得出结果.
【详解】（1）由已知得，当时，；当时，.
于是有，解得（或）.
（2）由（1）知，当时，有，
解得.
故污染物减少到40%至少需要42h.
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.