2026届上海市师范大学附属中学数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2026届上海市师范大学附属中学数学高一上期末教学质量检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2．直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（）
A. B.
C. D.
3．已知，则（ ）.
A. B.
C. D.
4．已知向量，，，则
A. B.
C. D.
5．已知，则的值为（）
A. B.
C. D.
6．设命题，，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
7．已知函数f (x) =有两不同的零点，则的取值范围是（）
A.(−∞，0) B.(0，+∞)
C.(−1，0) D.(0，1)
8．如果全集，，则
A. B.
C. D.
9．若，则（）
A.2 B.1
C.0 D.
10．设，则“”是“”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为___________

12．如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.

13．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________
14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为__________
15．已知向量，若，则实数的值为______
16．已知函数且
（1）若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；
（2）若函数在上最大值为3，求的值.
18．已知函数，，当时，恒有
（1）求的表达式及定义域；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程的解集为，求实数的取值范围
19．已知（）.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若f（x）是偶函数，求k的值；
（3）在（2）条件下，设，若函数与的图象有公共点，求实数b的取值范围
20．已知函数
（1）求的图象的对称轴的方程；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围
21．已知集合，集合.
（1）若，求和
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，将并否定原结论，写出命题的否定即可.
【详解】由原命题为特称命题，故其否定为“”.
故选：B
2、A
【解析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且
故选：A.
3、C
【解析】将分子分母同除以，再将代入求解.
【详解】.
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4、D
【解析】A项：利用向量的坐标运算以及向量共线的等价条件即可判断.
B项：利用向量模的公式即可判断.
C项：利用向量的坐标运算求出数量积即可比较大小.
D项：利用向量加法的坐标运算即可判断.
【详解】A选项：因为，，所以与不共线.
B选项：，，显然，不正确.
C选项：因为，所以，不正确；
D选项：因为，所以，正确；答案为D.
【点睛】主要考查向量加、减、数乘、数量积的坐标运算，还有向量模的公式以及向量共线的等价条件的运用.属于基础题.
5、C
【解析】利用余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】.
故选：C.
6、D
【解析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.
【详解】因为命题，，
所以：，.
故选：D
7、A
【解析】函数f (x) =有两不同的零点，可以转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，构造不等式即可求得的取值范围.
【详解】由题可知方程有两个不同的实数根，
则直线与函数的图象有两个不同的交点，
作出与的大致图象如下：

不妨设，由图可知，，整理得，
由基本不等式得，（当且仅当时等号成立）
又，所以，解得，
故选：A
8、C
【解析】首先确定集合U，然后求解补集即可.
【详解】由题意可得：，结合补集的定义可知.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9、C
【解析】根据正弦、余弦函数的有界性及，可得，，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；
【详解】解：∵，，又∵，∴，，又∵，∴，∴，
故选：C
10、A
【解析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.
【详解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】∵∠B'A'C'=90°, B'O'=C'O'=1，.
∴A'O'=1， ∴原△ABC的高为2，△ABC面积为.
点睛：由斜二测画法知，设直观图的面积为，原图形面积为，则
12、
【解析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.
【详解】连接、、，，，
在正方体中，，，，
所以，四边形为平行四边形，，
所以，异面直线与所成的角为.
易知为等边三角形，.

故答案为：.
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.
13、
【解析】结合图象确定a，b，c的关系，由此可得，再利用基本不等式求其最值.
【详解】解：因为函数，若实数a，b，c满足，且，
；
如图：，且；
令；
因为；
，当且仅当时取等号；
，；

故答案为：
14、-1
【解析】因为为奇函数，故，故填.
15、；
【解析】由题意得
16、（1）
（2）存在；（或）
【解析】（1）由题意，得在上恒成立，参变分离得恒成立，再令新函数，判断函数的单调性，求解最大值，从而求出的取值范围；（2）在（1）的条件下，讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到.
【小问1详解】
由题意，在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故
则，即的取值范围为.
【小问2详解】
要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得，①当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为增函数，
故且，即，此时的最大值为即，满足题意
②当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为减函数，
故且，即，
此时的最大值为即，满足题意
综上，存在（或）
【点睛】一般关于不等式在给定区间上恒成立的问题都可转化为最值问题，参变分离后得恒成立，等价于；恒成立，等价于成立.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；（2）或.
【解析】（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根，，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.
试题解析：（1）由.
（2）化简得，当，即时，；当，即时，，
，（舍）；当，即时，，综上，或.
18、（1），；（2）；（3）
【解析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；
（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.
（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程
的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.
【详解】（1）∵当时，
，
即，
即，
整理得恒成立，∴，
又，即，从而
∴，
∵，∴，或，
∴的定义域为
（2）方程有解，即，
∴，∴，∴，
∴，或，
解得或，
∴实数的取值范围
（3）方程的解集为，
∴，∴，
∴，
方程的解集为，故有两种情况：
①方程无解，即，得，
②方程有解，
两根均在内，，
则解得
综合①②得实数的取值范围是
【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.
19、（1）（2）1（3）
【解析】（1）根据条件列指数不等式，直接求解即可；
（2）利用偶函数定义列直接求解即可；
（3）根据题意列方程，令，得到方程，构造，结合二次函数性质讨论方程的根即可.
【详解】（1）因为
所以原不等式的解集为
（2）因为的定义域为且为偶函数，
所以
即

所以.经检验满足题意.
（3）有（2）可得
因为函数与的图象有公共点
所以方程有根
即
有根
令且（）
方程可化为（*）
令恒过定点
①当时，即时，（*）在上有根
（舍）；
②当时，即时，（*）在上有根
因为，则（*）方程在上必有一根
故成立；
③当时，（*）在上有根
则有
④当时，（*）在上有根
则有
综上可得：的取值范围为
【点睛】本题重点考查了函数方程的求解及二次函数根的分布，用到了换元和分类讨论的思想，考查了学生的计算能力，属于难题.
20、（1），
（2）
【解析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.
（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可求得实数的取值范围
【小问1详解】
，
由，，得，
故的图象的对称轴方程为，
【小问2详解】
因为，当时，不满足题意；
当时，可得．画出函数在上的图象，

由图可知或，解得
或．综上，实数a的取值范围为
21、（1），；（2）.
【解析】⑴把代入求出，，即可得到和
⑵由得到，由此能求出实数的取值范围；
解析：（1）若，则．
，
（2）因为 ,
若，则，
若，则或，
综上，