2025年吉林省安图县安林中学数学高一上期末监测模拟试题含解析.doc

2025年吉林省安图县安林中学数学高一上期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，，，则，，三者的大小关系是（）
A. B.
C. D.
2．函数的最小正周期是（ ）
A.π B.2π
C.3π D.4π
3．已知集合，，则集合
A. B.
C. D.
4．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）

A.函数为奇函数
B.函数的最小正周期为
C.函数的图象的对称轴为直线
D.函数的单调递增区间为
5．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，，的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
7．下列各组函数中，表示为同一个函数的是　　
A.与 B.与
C.与 D.与且
8．若集合,则（ ）
A. B.
C. D.
9．函数的图象如图所示，则函数y的表达式是（）

A. B.
C. D.
10．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列四个命题：
如果，，那么；
如果，，那么；
如果，，，那么；
如果，，，那么
其中错误的命题是　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，直四棱柱的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大小等于______

12．已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.
13．已知正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，高为，则球的表面积为________
14．已知为第四象限的角，，则________.
15．命题“”的否定是________
16．已知函数，若是上的单调递增函数，则的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）求的图象的对称轴的方程；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围
18．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式，判断并证明函数在上的单调性；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求正实数的取值范围.
19．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，分别是的中点.

求证：（1）平面平面；
（2）平面平面.
20．已知，，求，实数a的取值范围
21．已知函数
（1）求证：在上是单调递增函数；
（2）若在上的值域是，求a的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据对数的运算变形、，再根据对数函数的性质判断即可；
【详解】解：，，因为函数在定义域上单调递增，且，所以，即，
故选：D
2、A
【解析】化简得出，即可求出最小正周期.
【详解】，
最小正周期.
故选：A.
3、B
【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.
【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
或，
，
或，故选B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.
4、D
【解析】根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.
【详解】由图象可知
，，
∴，
则.
将点的坐标代入中，
整理得，
∴，
即；
，
∴，
∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.
，
∴既不是奇函数也不是偶函数，
故A错误；
∴的最小正周期，
故B不正确.
令，
解得，
则函数图像的对称轴为直线.
故C错误；
由，
可得，
∴函数的单调递增区间为.
故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.
5、A
【解析】由函数（，且）在上的最大值为4，分情况讨论得到，从而可得函数单调递增，而在上是减函数，所以可得，由此可求得的取值范围
【详解】当时，函数单调递增，据此可知：，满足题意；
当时，函数单调递减，据此可知：，不合题意；
故，函数单调递增，
若函数在上是减函数，则，据此可得
故选：A
【点睛】此题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查分类讨论思想，属于基础题.
6、C
【解析】先根据函数值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，令底边的一个端点为，则另一个端点为，由此可知，可得，据此即可求出结果.
【详解】令和相等可得，即；
此时，即等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，
令底边的一个端点为，则另一个端点为，
所以，即，
当时，的最小值，最小值为
故选：C
7、D
【解析】A，B两选项定义域不同，C选项对应法则不同，D选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
B.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C.，两个的对应法则不相同，不是同一函数
D.，，两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数，
故选D
【点睛】此题是个基础题．本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域..
8、B
【解析】集合、与集合之间的关系用或，元素0与集合之间的关系用或，ACD选项都使用错误。
【详解】，

只有B选项的表示方法是正确的，
故选：B。
【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系的表示方法，注意集合与集合之间的关系是子集（包含于），元素与集合之间的关系是属于或不属于。本题属于基础题。
9、A
【解析】由函数的最大、最小值，算出和，根据函数图像算出周期，利用周期公式算出.再由当时函数有最大值，建立关于的等式解出，即可得到函数的表达式.
【详解】函数的最大值为，最小值为，
，
，
又函数的周期，
，得.
可得函数的表达式为，
当时，函数有最大值，
，得，
可得，结合，
取得，
函数的表达式是.
故选：.
【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象，求它的解析式.着重考查了三角函数的周期公式、三角函数的图象的变换与解析式的求法等知识属于中档题.
10、B
【解析】根据空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得
答案
【详解】①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；
②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；
③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；
④如果m∥β，m⊂α，α∩β＝n，那么m∥n，故正确
故答案为B
【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了空间直线与直线，直线与平面的位置关系及几何
特征等知识点

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得 由 知就是异面直线与的夹角,且 所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°.
考点：1正四棱柱；2异面直线所成角
12、
【解析】利用向量数量积的几何意义得出，在等式两边平方可求出的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出的值.
【详解】，在方向上的投影为，，
，
则，
可得，因此，.
故答案：.
【点睛】本题考查平面向量数量积计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】首先判断正三棱柱外接球的球心，即上下底面正三角形中心连线的中点，然后构造直角三角形求半径，代入公式求解.
【详解】如图：设和分别是上下底面等边三角形的中心，
由题意可知连线的中点就是三棱柱外接球的球心，连接，
是等边三角形，且，，
，
球的表面积.

故答案为：
【点睛】本题考查求几何体外接球的表面积的问题，意在考查空间想象能力和转化与化归和计算能力，属于基础题型.
14、
【解析】给两边平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式可得结果.
【详解】∵，两边平方得：，∴，
∴，
∵为第四象限角，∴，，∴，
∴.
故答案为：
【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.
15、
【解析】由否定的定义写出即可.
【详解】命题“”的否定是“”
故答案为：
16、
【解析】利用函数的单调性求出a的取值范围，再求出的表达式并其范围作答.
【详解】因函数是上的单调递增函数，因此有，解得，
所以.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.
（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可求得实数的取值范围
【小问1详解】
，
由，，得，
故的图象的对称轴方程为，
【小问2详解】
因为，当时，不满足题意；
当时，可得．画出函数在上的图象，

由图可知或，解得
或．综上，实数a的取值范围为
18、（1），函数在上单调递减，证明见解析.
（2）
【解析】（1）根据，得到函数解析式，设，计算，证明函数的单调性.
（2）根据函数的奇偶性和单调性得到，设，求函数的最小值得到答案.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，则，，
解得，，故.
在上单调递减，证明如下：设，
则，
，，，故，即.
故函数在上单调递减.
【小问2详解】
，即，
，，故，即，
设，，，
，故，又，故.
19、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）因为是的中点，所以，由平面又可以得到，故平面得证.（2）因为三角形的中位线，所以，从而可以证明平面，同理平面，故而平面平面.
解析：（1）∵底面，平面，∴，又矩形中，分别为中点，∴，，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，平面平面.
（2）∵矩形中，分别为中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，平面，∴平面平面.

20、
【解析】由题意利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，求出实数的取值范围
【详解】解：因为，所以，所以
因为，所以，所以
又因为，所以．因为，所以
又因为，所以．综上，实数a取值范围是
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】(1）利用函数单调性的定义，设，再将变形，证明差为正即可；
(2）)由(1) 在上是单调递增函数，从而在上单调递增，由可求得a的值.
【详解】，

在上是单调递增函数，
（2）在上是单调递增函数，
在上单调递增，

所以
.
【点睛】本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题.