上海市宝山区市级名校2025-2026学年数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

上海市宝山区市级名校2025-2026学年数学高二第一学期期末考试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若数列{an}满足……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（　　）
A. B.（-∞，1）
C. D.（1， +∞）
2．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）
A. B.
C. D.
3．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
4．设平面向量，，其中m，，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（　　）
A. B.
C. D.
5．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）
A. B.
C.2 D.
6．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（）
A. B.
C.或 D.或
7．若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8．在三棱锥中，平面，，，，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B.
C. D.
9．已知公差不为0的等差数列中，（m，），则mn的最大值为（ ）
A.6 B.12
C.36 D.48
10．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于两点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
11．直线的倾斜角为（ ）
A.0 B.
C. D.
12．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为__________.
14．如图，抛物线上的点与轴上的点构成等边三角形，，，其中点在抛物线上，点的坐标为，，猜测数列的通项公式为________

15．某校开展“读书月”朗诵比赛，9位评委为选手A给出的分数如右边茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算得平均分为91，复核员在复核时发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是___________.

选手A
8
7
8
9
9

9
2
4
x
1
5

16．已知函数，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且
（1）求证；、、成等差数列；
（2）若，的面积为，求的周长
18．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
19．（12分）已知直线l：，圆C：.
（1）当时，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l被圆C截得的弦长恰好为，求k的值.
20．（12分）已知数列的前项和是，且，等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）定义：记，求数列的前20项和
21．（12分）已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
22．（10分）已知函数.
(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；
(II)若,求的单调区间.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为
所以当时,
两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列
当时,
所以，
则

由“差半递增”数列的定义可知

化简可得
解不等式可得
即实数的取值范围为
故选：A.
2、A
【解析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项.
【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则
，即，取，，
又平面平面，则平面与平面间的距离为，
故选：A.
3、B
【解析】由已知结合等比数列的性质可求出、，然后结合等比数列的求和公式求解即可.
【详解】解：由题意得：
是递增等比数列
又，
，

故
故选：B
4、D
【解析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.
【详解】由题意可知，即，
因为所有的基本事件共有种，其中满足的为，，只有1种，所以事件A发生的概率为.
故选：D
5、D
【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则,,,
设点,
故，，.
设设平面的法向量为，
则即，取，则.
所以点到平面距离 .
当，即时，距离有最大值为 .
故选:D.
【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.
6、C
【解析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，
当椭圆焦点在轴上时，，，椭圆方程为，
故选：C.
7、B
【解析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.
【详解】由双曲线的定义可得，结合可得
当点不为双曲线的顶点时，可得，即
当点为双曲线的顶点时，可得，即
所以，所以，所以
所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是
故选：B
8、C
【解析】由平面，直线与平面所成角的最大时，最小，也即最小，，由此可求得，从而得，得长，然后取外心，作，取H为的中点，使得，则易得，求出的长即为外接球半径，从而可得面积
【详解】三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，
如图所示；则，且的最大值是，
，的最小值是，
即A到的距离为，，，
在中可得，又，
，可得；
取的外接圆圆心为，作，
取H为的中点，使得，则易得，
由，解得，，
，，
由勾股定理得，
所以三棱锥的外接球的表面积是
.

【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定球的球心，三棱锥的外接球心在过各面外心且与此面垂直的直线上
9、C
【解析】由等差数列的性质可得，再应用基本不等式求mn的最大值，注意等号成立条件.
【详解】由题设及等差数列的性质知：，又m，，
所以，即，当且仅当时等号成立.
所以mn的最大值为.
故选：C
10、B
【解析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，利用对称性即可得出结果.
【详解】设直线倾斜角为，由，所以，由，
，所以，当点在轴上
方，又，所以，所以由对称性知，直线的斜率.
故选：B.
11、D
【解析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题的斜率，故倾斜角的正切值为，
又，故.
故选：D.
12、D
【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程
【详解】由题可知，抛物线焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得
故选：
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界来求得的最大值.
【详解】，
画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值.
故答案为：

14、
【解析】求出，，，，，，可猜测，利用累加法，即可求解
【详解】的方程为，代入抛物线可得，
同理可得，，，，
可猜测，
证明：记三角形的边长为，
由题意可知，当时，在抛物线上，
可得，
当时，，
两式相减得：
化简得：，
则数列是等差数列，，
，
，
，

故答案为：
15、4
【解析】根据题意分和两种情况讨论，再根据平均分公式计算即可得出答案.
【详解】解：当时，
则去掉的最低分数为87分，最高分数为95分，
则，
所以，
当时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为分，
则平均分为，与题意矛盾，
综上.
故答案为：4.
16、.
【解析】将代入计算，利用和互为相反数，作差可得，计算可得结果.
【详解】解：函数则.
，
，
作差可得：，
即，解得：代入此时成立.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可求得的值，即可证得结论成立；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得的值，进而可求得的周长.
【小问1详解】
证明：由正弦定理及，得，
所以，，
所以，，
，则，所以，，
又，，，因此，、、成等差数列.
【小问2详解】
解：，，
又，，
故的周长为.
18、（1）（2）
【解析】（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积
【详解】（1）由已知得，，解得，又，
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，
由得，①
设、的坐标分别为，（），中点为，
则，，
因为是等腰△的底边，所以
所以的斜率为，解得，此时方程①为
解得，，所以，，所以，
此时，点到直线：距离，
所以△的面积
考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.
【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键
19、（1）相离，理由见解析；（2）0或
【解析】（1）求出圆心到直线的距离和半径比较即可判断；
（2）求出圆心到直线的距离，利用弦长计算即可得出.
【详解】（1）圆C：的圆心为，半径为2，
当时，线l：，
则圆心到直线的距离为，
直线l与圆C相离；
（2）圆心到直线的距离为，
弦长为，则，解得或.
20、（1）；
（2）
【解析】（1）利用求得递推关系得等比数列，从而得通项公式，再由等差数列的基本时法求得通项公式；
（2）根据定义求得，然后分组求和法求得和
【小问1详解】
由题意，当时，

两式相减，得，即
是首项为3，公比为3的等比数列

设数列的公差为，

小问2详解】
由

21、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；
(2)设，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.
【小问1详解】

由圆A：可得(，
∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，
，
，可得，
，
，
由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴动点E的轨迹方程为；
【小问2详解】
由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
当m＝3时，直线MN的方程为：，
此时过点P(0，3)不符合题意，
∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：
此时直线MN过点(－1，－3)，
当直线MN的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，
综上所述：直线MN过定点(－1，－3).

22、（Ⅰ）
（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减
【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得；
（Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间.
【详解】解：（Ⅰ）

因为函数在点处的切线方程为

解得
（Ⅱ）
令,得或 .
因为,所以时， ；
时，.
故在区间上单调递增,在区间上单调递减
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.